Леонид: Спасибо
20-09-2023
Читать статью
Калужский Александр: Леонид, цикл x повториться 300 раз, цикл..
Леонид: Почему k == 90000 в примере (x > A) ∨ (y..
Привет! В этой статье мы рассмотрим окружность и порешаем задачи на эту тему.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки (центра).
Часть окружности, ограниченная с двух сторон радиусами, называется дугой данной окружности.
Здесь получаются две дуги. Для удобства обозначения отметим на них точки D и E. Тогда бо́льшая дуга будет обозначаться ◡СDB, меньшая ◡CEB.
Если в контексте понятно о какой дуге идёт речь, можно обозначать дугу двумя буквами.
Дуги измеряются, как углы, в градусах.
Градусная мера дуги окружности — эта градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Секущая окружности — прямая, имеющая с окружностью две общие точки.
Теорема о касательной и секущей. Если из точки B к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки B до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки B до точек её пересечения с окружностью.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Теорема об отрезках пересекающихся хорд. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды..
Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Площадь треугольника через радиус описанной окружности можно написать следующим образом:
a, b, с - стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°.
В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника.
Площадь треугольника и радиус вписанной окружности связаны соотношением:
r — радиус вписанной окружности; S — площадь треугольника; P — периметр треугольника; a, b, c — стороны треугольника.
Если суммы противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
В треугольнике ABC известно, что AB=3, BC=4, угол B равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Угол ∠B — это угол вписанный в окружность. Он равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга ◡AFC = 2∙90° = 180°. Вся окружность 360°.Т.е. получается, что хорда AC делит окружность на две равные части, ⇒ AC — диаметр.
Найдём AC по Теореме Пифагора.
Радиус равен половине диаметра окружности. R = AC/2 = 5/2 = 2,5.
Острый угол B прямоугольного треугольника раван 66°. Найдите угол между биссектрисой СD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Как мы выяснили в прошлой задаче, центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике попадает в середину гипотенузы.
Тогда отрезки AM, MB, MC — это радиусы.
Можно найти ∠CAB.
Треугольник △AMC — равнобедренный. Углы при основании будут равны: ∠CAM = ∠ACM = 24°.
Т.к. CD — биссектриса прямоугольного угла ∠ACB, то ∠ACD = ∠DCB = 45°.
Тогда искомый угол будет равен:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39°, угол CAD равн 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Углы ∠DAC и ∠DBC опираются на одну и ту же дугу ◡DFC, следовательно, они равны. Значит, искомый угол ∠ABC равен:
Точки В, С, D, E, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги CD, DE, EB, BC, градусные величины которых относятся соответственно как 2:1:3:2. Найдите угол DCB. Ответ запишите в градусах.
Вся окружность — это 360°. Найдём сколько градусов будет одна часть. Всего частей 2 + 1 + 3 + 2 = 8.
Угол ∠DCB опирается на дугу ◡DEB. Найдём Дугу ◡DEB.
Угол ∠DCB является вписанным, значит, он равен половине дуги, на которую он опирается.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 6. Найдите боковую сторону трапеции.
Из вопроса можно понять, что трапеция получается равнобедренная, т.к. не уточняется, какую именно боковую сторону нужно найти.
Если вокруг выпуклого четырёхугольника описана окружность, то сумма противоположных углов этого четырёхугольника равна 180°.
Но с другой стороны углы ∠С и ∠D являются односторонними при параллельных прямых BC и AD, и секущей CD. Сумма односторонних углов так же равна 180°.
Следовательно, ∠B = ∠C ⇒ ∠A = ∠D . А это, значит, что трапеция ABCD — равнобедренная.
Обозначим основания за a и b, a боковую сторону за x.
Тогда периметр равен:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Тогда
Тогда получается окончательное уравнение:
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 30. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Проведём диагональ CE.
Хорды CA и CD равны, а равные хорды стягивают равные дуги. Дуга ◡CA = ◡CD ⇒ ∠AEC = ∠DEC.
Значит, EC - биссектриса. Угол ∠AEC = ∠DEC = 30°.
Рассмотрим △ACE. Он прямоугольный! Описанная окружность около трапеции является описанной окружностью и около треугольника ACE. Как мы уже рассматривали в первой задаче, если вокруг прямоугольного треугольника описана окружность, то гипотенуза этого треугольника будет являться диаметром данной окружности.
Получается радиус описанной окружности:
Около равностороннего треугольника описана окружность. Сторона треугольника равна 10. Найдите радиус описанной окружности. В ответе запишите число, умноженное на √3.
В начале статьи приводилась формула, как связана площадь треугольника и радиус описанной окружности. Тогда
Площадь равностороннего треугольника удобно найти по запасной формуле площади треугольника, о которой мы говорили в этой статье.
