вентилятор
Хорошего настроения!

Планиметрия - Задачи на окружность



Привет! В этой статье мы рассмотрим окружность и порешаем задачи на эту тему.



Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки (центра).




Окружность




Часть окружности, ограниченная с двух сторон радиусами, называется дугой данной окружности.


Дуга окружности


Здесь получаются две дуги. Для удобства обозначения отметим на них точки D и E. Тогда бо́льшая дуга будет обозначаться ◡СDB, меньшая ◡CEB.


Если в контексте понятно о какой дуге идёт речь, можно обозначать дугу двумя буквами.





Дуги измеряются, как углы, в градусах.


Градусная мера дуги окружности — эта градусная мера соответствующего центрального угла.


◡CEB = ∠CAB.

Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается.


Окружность - вписанный угол


∠CFB = ½∙◡CEB = ½∙∠CAB




Касательная к окружности


Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.


Окружность - касательная

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.


Секущая окружности — прямая, имеющая с окружностью две общие точки.


Теорема о касательной и секущей окружности

Теорема о касательной и секущей. Если из точки B к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки B до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки B до точек её пересечения с окружностью.


BC2 = BE∙BD




Хорды


Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.


Теорема о касательной и секущей окружности

Теорема об отрезках пересекающихся хорд. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды..


DF∙FE = BF∙FC




Описанная окружность


Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.


Окружность, описанная около треугольника

Площадь треугольника через радиус описанной окружности можно написать следующим образом:


Площадь треугольника через радиус описанной окружности

a, b, с - стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.





Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°.


Теорема о касательной и секущей окружности

∠B + ∠D = ∠C + ∠E = 180°




Вписанная окружность


В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника.


Вписанная окружность в треугольник

Площадь треугольника и радиус вписанной окружности связаны соотношением:


Радиус вписанной окружности через площадь треугольника

r — радиус вписанной окружности; S — площадь треугольника; P — периметр треугольника; a, b, c — стороны треугольника.





Если суммы противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.


ВВписанная окружность в выпуклый четырёхугольник

CD + FE = CF + DE




Задачи на окружность


Задача (Прямоугольный треугольник)

В треугольнике ABC известно, что AB=3, BC=4, угол B равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.


Задача на окружность - прямоугольный треугольник

Решение:
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Угол ∠B — это угол вписанный в окружность. Он равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга ◡AFC = 2∙90° = 180°. Вся окружность 360°.Т.е. получается, что хорда AC делит окружность на две равные части, ⇒ ACдиаметр.


Найдём AC по Теореме Пифагора.


AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 32 + 42 = 25
AC = 5

Радиус равен половине диаметра окружности. R = AC/2 = 5/2 = 2,5.


Ответ: 2,5



Задача (Угол между биссектрисой и медианой)

Острый угол B прямоугольного треугольника раван 66°. Найдите угол между биссектрисой СD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.


Задача - Угол между биссектрисой и медианой

Решение:

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Как мы выяснили в прошлой задаче, центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике попадает в середину гипотенузы.


Задача - Угол между биссектрисой и медианой (Решение)

Тогда отрезки AM, MB, MC — это радиусы.


Можно найти ∠CAB.


∠CAB = 90° - 66° = 24°

Треугольник △AMC — равнобедренный. Углы при основании будут равны: ∠CAM = ∠ACM = 24°.


Т.к. CD — биссектриса прямоугольного угла ∠ACB, то ∠ACD = ∠DCB = 45°.


Тогда искомый угол будет равен:


∠ACD - ∠ACM = 45° - 24° = 21°

Ответ: 21



Задача (Углы опираются на одну и ту же дугу)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39°, угол CAD равн 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.


Окружность, описанная около четырёхугольника

Решение:
Окружность, описанная около четырёхугольника, решение

Углы ∠DAC и ∠DBC опираются на одну и ту же дугу ◡DFC, следовательно, они равны. Значит, искомый угол ∠ABC равен:


∠ABC = ∠ABD + ∠DBC
∠ABC = 39° + 55° = 94°

Ответ: 94



Задача (Вписанный угол)

Точки В, С, D, E, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги CD, DE, EB, BC, градусные величины которых относятся соответственно как 2:1:3:2. Найдите угол DCB. Ответ запишите в градусах.


Задача на окружность 3

Решение:

Вся окружность — это 360°. Найдём сколько градусов будет одна часть. Всего частей 2 + 1 + 3 + 2 = 8.


1 часть = 360° : 8 = 45°

Угол ∠DCB опирается на дугу ◡DEB. Найдём Дугу ◡DEB.


◡DEB = ◡DE + ◡EB = 1∙45° + 3∙45° = 180°

Угол ∠DCB является вписанным, значит, он равен половине дуги, на которую он опирается.


∠DCB = ½∙◡DEB = ½∙180° = 90°

Ответ: 90°



Задача (Окружность, описанная около трапеции)

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 6. Найдите боковую сторону трапеции.


Окружность, описанная около трапеции

Решение:

Из вопроса можно понять, что трапеция получается равнобедренная, т.к. не уточняется, какую именно боковую сторону нужно найти.


Если вокруг выпуклого четырёхугольника описана окружность, то сумма противоположных углов этого четырёхугольника равна 180°.


∠B + ∠D = 180°

Но с другой стороны углы ∠С и ∠D являются односторонними при параллельных прямых BC и AD, и секущей CD. Сумма односторонних углов так же равна 180°.


∠C + ∠D = 180°




Следовательно, ∠B = ∠C ⇒ ∠A = ∠D . А это, значит, что трапеция ABCDравнобедренная.


Окружность, описанная около трапеции - решение

Обозначим основания за a и b, a боковую сторону за x.


Тогда периметр равен:


P = x + x + a + b = 22

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Тогда


½∙(a+b) = 6
a+b = 12

Тогда получается окончательное уравнение:


2x + 12 = 22
2x = 10
x = 5

Ответ: 5



Задача (Окружность, описанная около трапеции, закрепление)

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 30. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.


Окружность, описанная около трапеции, закрепление

Решение:

Проведём диагональ CE.


Окружность, описанная около трапеции, закрепление

Хорды CA и CD равны, а равные хорды стягивают равные дуги. Дуга ◡CA = ◡CD ⇒ ∠AEC = ∠DEC.


Значит, EC - биссектриса. Угол ∠AEC = ∠DEC = 30°.


Рассмотрим △ACE. Он прямоугольный! Описанная окружность около трапеции является описанной окружностью и около треугольника ACE. Как мы уже рассматривали в первой задаче, если вокруг прямоугольного треугольника описана окружность, то гипотенуза этого треугольника будет являться диаметром данной окружности.


Получается радиус описанной окружности:


R = AE/2 = 30/2 = 15

Ответ: 15



Задача (Равносторонний треугольник)

Около равностороннего треугольника описана окружность. Сторона треугольника равна 10. Найдите радиус описанной окружности. В ответе запишите число, умноженное на √3.


Окружность, описанная около равностороннего треугольника

Решение:

В начале статьи приводилась формула, как связана площадь треугольника и радиус описанной окружности. Тогда


Формула радиуса описанной окружности


Площадь равностороннего треугольника удобно найти по запасной формуле площади треугольника, о которой мы говорили в этой статье.


Площадь треугольника через синус угла


Формула радиуса описанной окружности

Ответ: 10


18-03-2023 в 14:54:37





Поддержать сайт:


Похожая статья:

Планиметрия - Задачи на площадь треугольника

Привет! Это первая статья посвящённая ЕГЭ по математике профильному ур...

Категория: Математика  Подкатегория: Планиметрия
Дата: 02-03-2023 в 16:24:25 0



Оставить коментарий:



Напишите email, чтобы получать сообщения о новых комментариях (необязательно):


Задача против робота. Расположите картинки горизонтально:




Нажимая кнопку Отправить, Вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности сайта.