Леонид: Спасибо
20-09-2023
Читать статью
Калужский Александр: Леонид, цикл x повториться 300 раз, цикл..
Леонид: Почему k == 90000 в примере (x > A) ∨ (y..
Привет! Это первая статья посвящённая планиметрии.
В ней речь пойдёт о задачах на площадь треугольника.
Вспомним основные формулы для площади треугольника.
Основная формула:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Запасная формула:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Формула Герона:
Приступим к тренировочным задачам задания №1 из ЕГЭ по математике профильного уровня на площадь треугольника.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 16 и 20.
Здесь можно воспользоваться основной формулой для нахождения площади прямоугольного треугольника. Но важно знать, что любой катет — это и есть высота прямоугольного треугольника.
Таким образом, высота будет, к примеру, сторона AB. Тогда основанием будет сторона ВС.
Найдём сторону АВ по теореме Пифагора.
Тогда площадь будет равна:
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Найдём гипотенузу по теореме Пифагора.
Мы в прошлой задаче выяснили, что площадь прямоугольного треугольника можно найти, как половину произведения его катетов. А с другой стороны, исходя из основной формулы, площадь равна половине произведения высоты ВН и основания (гипотенузы AC).
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 100. Найдите площадь треугольника BCD.
Проведём в треугольнике ABC высоту BH. Оказывается, что ВН является высотой и для треугольника ABD, и для треугольника DBC, и для треугольника ABC.
Применим основную формулу для треугольника ABC и найдём высоту BH.
Теперь применим основную формулу, чтобы найти площадь треугольника BCD.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при основании равен 15°. Боковая сторона равна 10. Найдите площадь треугольника ABC.
Здесь удобно использовать запасную формулу. Мы знаем две боковые стороны треугольника. Остаётся найти синус угла между ними.
Мы знаем, что углы при основании равны в равнобедренном треугольнике. Поэтому
Синус угла 150° известен. Он равен sin(150°) = sin(30°) = 0,5. Тогда
Найдите площадь ромба, если один из его углов равен 60°, а меньшая диагональ равна 10. В ответе запишите число, делённое на √3.
Меньшая диагональ будет находится напротив угла 60°, т.к. второй угол у ромба будет 120°, и напротив этого угла будет находится большая диагональ.
Рассмотрим треугольник ВАС. Мы знаем, что у ромба все стороны равны, поэтому треугольник ВАС равносторонний. Ведь, ВА = АС ⇒ ∠ABC = ∠ACB. Тогда
Значит, треугольник ВАС равносторонний. Следовательно, BA = AC = CB = 10.
Чтобы найти площадь ромба, можно разбить его на два одинаковых треугольника: BAC и BDC. Эти два треугольника равны по трём сторонам (BA = AC = CD = DB, BC - общая).
Площадь треугольника BAC легко найти по запасной формуле, ведь две стороны мы знаем, и синус угла между ними тоже известен.
Площадь ромба будет равна
В ответе нужно указать число, делённое на √3.
На рисунке AB ⊥ BD, AB = 5, AD = 13 и CD = 6. Найдите площадь треугольника CAD.
Первый способ (основная формула)
Нам известна высота треугольника CAD, AB=5. Нам известно основание, на которое она опущена, это CD=6. Применим основную формулу для площади треугольника.
Второй способ (запасная формула)
В прямоугольном треугольнике ABD найдём синус ∠BDA.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Теперь воспользуемся запасной формулой для треугольника CAD.
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 28, 26, 30.
Решим по формуле Герона.
Найдём полупериметр.
Тогда
На этом всё! Сегодня мы повторили основные формулы для нахождения площади треугольника и порешали задачи на эту темы. Всем удачи!