Планиметрия - Задачи на площадь треугольника

Привет! Это первая статья посвящённая планиметрии.

В ней речь пойдёт о задачах на площадь треугольника.

Вспомним основные формулы для площади треугольника.

Формулы для площади треугольника

Основная формула:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Запасная формула:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Формула Герона:

Решение задач

Приступим к тренировочным задачам задания №1 из ЕГЭ по математике профильного уровня на площадь треугольника.

Задача (Прямоугольный треугольник)

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 16 и 20.

Решение:

Здесь можно воспользоваться основной формулой для нахождения площади прямоугольного треугольника. Но важно знать, что любой катет — это и есть высота прямоугольного треугольника.

Таким образом, высота будет, к примеру, сторона AB. Тогда основанием будет сторона ВС.

Найдём сторону АВ по теореме Пифагора.

x² + 16² = 20²
x² = 400 - 256 = 144
x = 12

Тогда площадь будет равна:

S = 0,5 * 12 * 16 = 6 * 16 = 96
Ответ: 96



Задача (Прямоугольный треугольник, закрепление)

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора.

AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 8² = 100
AC = 10

Мы в прошлой задаче выяснили, что площадь прямоугольного треугольника можно найти, как половину произведения его катетов. А с другой стороны, исходя из основной формулы, площадь равна половине произведения высоты ВН и основания (гипотенузы AC).

S = 0,5*AB*BC = 0,5*BH*AC
BH = AB*BC / AC = 6*8 / 10 = 4,8
Ответ: 4,8



Задача (Три треугольника, одна высота)

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 100. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Проведём в треугольнике ABC высоту BH. Оказывается, что ВН является высотой и для треугольника ABD, и для треугольника DBC, и для треугольника ABC.

Применим основную формулу для треугольника ABC и найдём высоту BH.

S_ABC = 0,5 * AC *BH
S_ABC = 0,5 * 10 * BH = 100
BH = 100 / (0,5*10) = 20

Теперь применим основную формулу, чтобы найти площадь треугольника BCD.

S_DBC = 0,5 * DC * BH
S_DBC = 0,5 * 7 * 20 = 70

Ответ: 70



Задача (Запасная формула)

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при основании равен 15°. Боковая сторона равна 10. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Здесь удобно использовать запасную формулу. Мы знаем две боковые стороны треугольника. Остаётся найти синус угла между ними.

Мы знаем, что углы при основании равны в равнобедренном треугольнике. Поэтому

∠ABC + ∠ВАС + ∠BCA = 180°
∠ABC = 180° - ∠ВАС - ∠BCA
∠ABC = 180° - 15° - 15° = 150°

Синус угла 150° известен. Он равен sin(150°) = sin(30°) = 0,5. Тогда

S = 0,5 * AB*BC * sin(∠ABC)
S = 0,5 * 10*10 * 0,5 = 25
Ответ: 25



Задача (Треугольники в ромбе)

Найдите площадь ромба, если один из его углов равен 60°, а меньшая диагональ равна 10. В ответе запишите число, делённое на √3.

Решение:

Меньшая диагональ будет находится напротив угла 60°, т.к. второй угол у ромба будет 120°, и напротив этого угла будет находится большая диагональ.

Рассмотрим треугольник ВАС. Мы знаем, что у ромба все стороны равны, поэтому треугольник ВАС равносторонний. Ведь, ВА = АС ⇒ ∠ABC = ∠ACB. Тогда

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°
x = ∠ABC = ∠ACB
x + x + 60° = 180°
2x = 120°
x = 60°

Значит, треугольник ВАС равносторонний. Следовательно, BA = AC = CB = 10.

Чтобы найти площадь ромба, можно разбить его на два одинаковых треугольника: BAC и BDC. Эти два треугольника равны по трём сторонам (BA = AC = CD = DB, BC - общая).

Площадь треугольника BAC легко найти по запасной формуле, ведь две стороны мы знаем, и синус угла между ними тоже известен.

S_BAC = 0,5 * BA * AC * sin(60°)
S_BAC = 0,5 * 10 * 10 * (√3/2)
S_BAC = 25 * √3

Площадь ромба будет равна

S_BACD = 2 * S_BAC = 2 * 25 * √3 = 50 * √3

В ответе нужно указать число, делённое на √3.

Ответ: 50



Задача (Решаем задачу двумя способами)

На рисунке AB ⊥ BD, AB = 5, AD = 13 и CD = 6. Найдите площадь треугольника CAD.

Решение:

Первый способ (основная формула)

Нам известна высота треугольника CAD, AB=5. Нам известно основание, на которое она опущена, это CD=6. Применим основную формулу для площади треугольника.

S_CAD = ½ * AB * CD
S_CAD = ½ * 5 * 6 = 15

Второй способ (запасная формула)

В прямоугольном треугольнике ABD найдём синус ∠BDA.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin(∠BDA) = AB/AD = 5/13

Теперь воспользуемся запасной формулой для треугольника CAD.

S_CAD = ½ * CD * DA * sin(∠BDA)
S_CAD = ½ * 6 * 13 * (5/13) = 15

Ответ: 15


Задача (Формула Герона)

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 28, 26, 30.

Решение:

Решим по формуле Герона.

Найдём полупериметр.

p=(28+26+30)/2 = 42

Тогда

Ответ: 336

На этом всё! Сегодня мы повторили основные формулы для нахождения площади треугольника и порешали задачи на эту темы. Всем удачи!