Леонид: Спасибо
20-09-2023
Читать статью
Калужский Александр: Леонид, цикл x повториться 300 раз, цикл..
Леонид: Почему k == 90000 в примере (x > A) ∨ (y..
Привет! Сегодня повторим геометрическую фигуру параллелограмм и порешаем задачи на эту тему.
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его четырёх сторон.
Признаки параллелограмма:
1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
C другой стороны, каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Применив формулу для площади треугольника через синус угла, получим, что площадь параллелограмма можно вычислить следующим образом:
Так же, разделив двумя диагоналями параллелограмм на 4 треугольника, и использовав вышеуказанную формулу для площади треугольника через синус угла, получается, площадь параллелограмма через диагонали можно представить в виде формулы:
Эта формула справедлива для любого выпуклого четырёхугольника.
Биссектриса тупого угла ∠ABC параллелограмма ABCD делит противоположную сторону AD в соотношении 1:3, считая от вершины острого угла. Бо́льшая сторона AD равна 12. Найдите периметр параллелограмма.
Найдём отрезок AE. Всего отрезок AD содержит 4 части (1+3), а AE — это одна часть. Тогда получается AE = AD/4 = 12/4 = 3.
Углы ∠EBC и ∠BEA равны, т.к. эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BE.
Т.к. ∠EBC=∠BEA=∠ABE (Ведь BE — биссектриса), следовательно, треугольник ABE — равнобедренный (два угла равны ∠BEA = ∠ABE). Значит, боковые стороны равны AB=AE=3.
Теперь можно найти и периметр. По 1 свойству параллелограмма AB=DC=3, а так же AD=BC=12.
В параллелограмме ABCD диагональ AC вдвое больше, чем сторона AB. Диагонали пересекаются в точке O. Угол ∠AOB=70°. Найдите угол ∠ACD. Ответ запишите в градусах.
Воспользуемся свойством параллелограмма. Оно говорит, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Получается AO=OC=AB, т.к. AB — так же половина диагонали AC.
Получается треугольник ABO — равнобедренный. Тогда углы при основании раны ∠AOB= ∠ABO=70°. Т.к сумма углов в треугольнике ABO равна 180°, то ∠BAO = 180° - 70° - 70° = 40°.
Угол ∠BAO = ∠ОСВ (эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей AC).
Значит, ∠BAO = ∠ОСВ = 40°.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8. Из произвольной точки, на основании треугольника, проведены две прямы, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр образовавшегося параллелограмма.
Углы ∠KDA и ∠BCA являются соответственными при параллельных прямых KD и BC и секущей AC. Значит, они равны ∠KDA=∠BCA.
Получается, что треугольник AKD — равнобедренный. Ведь, ∠BAC=∠BCA (Т.к. это углы при основании в равнобедренном треугольнике ABC) ⇒ ∠BAC = ∠KDA, а если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник — равнобедренный.
Чтобы найти периметр параллелограмма, достаточно найти сумму двух его пересекающихся сторон, и затем эту сумму нужно умножить на 2. Сумма двух пересекающихся сторон параллелограмма DKBM как раз равна боковой стороне треугольника ABC. Т.е. KD + KB = AB (АК=КD т.к. треугольник AKD равнобедренный).
Площадь параллелограмма ABCD равна 77. Найдите площадь параллелограмма EFGH, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Обозначим AE=EB=CG=GD=a, BF=FC=AH=HD=b, ∠BAD=∠BCD=α, ∠ABC=∠ADC=180°-α.
Рассмотрим площади четырёх треугольников, которые получились внутри параллелограмма ABCD равны. Используем формулу для площади треугольника через синус угла.
Т.к. по формуле приведения sinα = sin(180°-α), то площади всех четырёх треугольников равны.
Площадь параллелограмма ABCD через синус угла α можно представить:
Тогда
Получается, что если из площади параллелограмма ABCD вычесть площади четырех получившихся треугольников, то останется ровно половина от изначальной площади. Это и есть площадь параллелограмма EFGH.
Диагонали параллелограмма равны 12 и 14. Найдите стороны параллелограмма, если их разность равна 4. В ответе запишите сумму двух его разных сторон.
Здесь удобно воспользоваться 3 свойством, которое было описано в начале статьи.
Пусть AB=x, а BC=y.
Тогда по 3 свойству:
А с другой стороны, по условию
Подставляем x в первое уравнение.
Получили квадратное уравнение.
Отрицательное число не подходит.