Планиметрия - Задачи на параллелограмм

Привет! Сегодня повторим геометрическую фигуру параллелограмм и порешаем задачи на эту тему.

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его четырёх сторон.

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

S = h∙a

C другой стороны, каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Применив формулу для площади треугольника через синус угла, получим, что площадь параллелограмма можно вычислить следующим образом:

S = a∙b∙sinα

a и b — стороны, α — величина угола между ними

Так же, разделив двумя диагоналями параллелограмм на 4 треугольника, и использовав вышеуказанную формулу для площади треугольника через синус угла, получается, площадь параллелограмма через диагонали можно представить в виде формулы:

S = ½∙d1∙d2∙sinφ

d1 и d2 — диагонали, φ — величина угла между ними

Эта формула справедлива для любого выпуклого четырёхугольника.

Задачи на параллелограмм.

Задача (Накрест лежащие углы)

Биссектриса тупого угла ∠ABC параллелограмма ABCD делит противоположную сторону AD в соотношении 1:3, считая от вершины острого угла. Бо́льшая сторона AD равна 12. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Найдём отрезок AE. Всего отрезок AD содержит 4 части (1+3), а AE — это одна часть. Тогда получается AE = AD/4 = 12/4 = 3.

Углы ∠EBC и ∠BEA равны, т.к. эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BE.

Т.к. ∠EBC=∠BEA=∠ABE (Ведь BE — биссектриса), следовательно, треугольник ABE — равнобедренный (два угла равны ∠BEA = ∠ABE). Значит, боковые стороны равны AB=AE=3.

Теперь можно найти и периметр. По 1 свойству параллелограмма AB=DC=3, а так же AD=BC=12.

P=(12+3)*2 = 30
Ответ: 30



Задача (Свойство диагоналей)

В параллелограмме ABCD диагональ AC вдвое больше, чем сторона AB. Диагонали пересекаются в точке O. Угол ∠AOB=70°. Найдите угол ∠ACD. Ответ запишите в градусах.

Решение:

Воспользуемся свойством параллелограмма. Оно говорит, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Получается AO=OC=AB, т.к. AB — так же половина диагонали AC.

Получается треугольник ABO — равнобедренный. Тогда углы при основании раны ∠AOB= ∠ABO=70°. Т.к сумма углов в треугольнике ABO равна 180°, то ∠BAO = 180° - 70° - 70° = 40°.

Угол ∠BAO = ∠ОСВ (эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей AC).

Значит, ∠BAO = ∠ОСВ = 40°.

Ответ: 40



Задача (Используем параллельные прямые)

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8. Из произвольной точки, на основании треугольника, проведены две прямы, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр образовавшегося параллелограмма.

Решение:

Углы ∠KDA и ∠BCA являются соответственными при параллельных прямых KD и BC и секущей AC. Значит, они равны ∠KDA=∠BCA.

Получается, что треугольник AKD — равнобедренный. Ведь, ∠BAC=∠BCA (Т.к. это углы при основании в равнобедренном треугольнике ABC) ⇒ ∠BAC = ∠KDA, а если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник — равнобедренный.

Чтобы найти периметр параллелограмма, достаточно найти сумму двух его пересекающихся сторон, и затем эту сумму нужно умножить на 2. Сумма двух пересекающихся сторон параллелограмма DKBM как раз равна боковой стороне треугольника ABC. Т.е. KD + KB = AB (АК=КD т.к. треугольник AKD равнобедренный).

P_DKBM = 2*(KD + KB) = 2 * AB = 2 * 8 = 16
Ответ: 16



Задача (Два параллелограмма)

Площадь параллелограмма ABCD равна 77. Найдите площадь параллелограмма EFGH, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Решение:

Обозначим AE=EB=CG=GD=a, BF=FC=AH=HD=b, ∠BAD=∠BCD=α, ∠ABC=∠ADC=180°-α.

Рассмотрим площади четырёх треугольников, которые получились внутри параллелограмма ABCD равны. Используем формулу для площади треугольника через синус угла.

S_AEH = ½∙a∙b∙sinα
S_EBF = ½∙a∙b∙sin(180°-α)
S_FCG = ½∙a∙b∙sinα
S_HGD = ½∙a∙b∙sin(180°-α)

Т.к. по формуле приведения sinα = sin(180°-α), то площади всех четырёх треугольников равны.

Площадь параллелограмма ABCD через синус угла α можно представить:

S_ABCD = AB∙AD∙sinα = 2a∙2b∙sinα = 4∙a∙b∙sinα

Тогда

S_ABCD - S_AEH - S_EBF - S_FCG - S_HGD =
4∙a∙b∙sinα - 4 ∙ (½∙a∙b∙sinα) = 2∙a∙b∙sinα

Получается, что если из площади параллелограмма ABCD вычесть площади четырех получившихся треугольников, то останется ровно половина от изначальной площади. Это и есть площадь параллелограмма EFGH.

S_EFGH = ½ ∙ S_ABCD = ½ ∙ 77 = 38,5
Ответ: 38,5



Задача (Диагонали параллелограмма)

Диагонали параллелограмма равны 12 и 14. Найдите стороны параллелограмма, если их разность равна 4. В ответе запишите сумму двух его разных сторон.

Решение:

Здесь удобно воспользоваться 3 свойством, которое было описано в начале статьи.

Пусть AB=x, а BC=y.

Тогда по 3 свойству:

12² + 14² = x² + x² + y² + y²

А с другой стороны, по условию

x - y = 4
x = 4 + y

Подставляем x в первое уравнение.

340 = 2∙(4+y)² + 2∙y²
340 = 2∙(16 + 8∙y + y²) + 2∙y²
170 = 16 + 8∙y + y² + y²
2∙y² + 8∙y - 154 = 0

Получили квадратное уравнение.

y² + 4∙y - 77 = 0
D = 16 + 4∙77 = 324
√D = 18
y₁ = (-4 + 18)/2 = 7
y₂ = (-4 - 18)/2 = -11

Отрицательное число не подходит.

x = 7 + 4 = 11.
Ответ: 18