вентилятор
Хорошего настроения!

Математика - показательные уравнения (основы)



Показательные уравнения - это один из разделов алгебры, который изучает уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Этот раздел математики важен не только для школьников, но и для студентов технических специальностей, так как широко используется в инженерных расчетах и научных исследованиях. Показательные уравнения имеют множество приложений в различных областях, включая физику, экономику, информатику и другие. В данной статье мы рассмотрим основные понятия и методы решения показательных уравнений, а также приведем несколько примеров задач для лучшего понимания темы.





Показательные уравнения.


Уравнение


a x = b

называют простейшим показательным уравнением.

Показательные уравнения (пример 1) - решение


Задача (Разминка)

Решите уравнение


( 1 2 ) x = 4 Решение:

Уравнение имеет один корень.


x = log   1 2 4 = 2
Ответ: -2



Можно перейти от показательного уравнения к алгебраическому.


Переход от показательного уравнения к алгебраическому

Например


( 1 2 ) x = 4
2 x = 2 2
x = 2

Задача (Разогреваемся)

Решите уравнение


3 x = 5
Решение:

Если уравнение не имеет целочисленного значения x, то ответ следует записать с использованием логарифма.


x = log 3 5
Ответ: log35



При решении показательных уравнений часто приходится использовать свойства степеней.


Свойства степеней




Задача (Набираем обороты)

Решите уравнение


3 x + 3 4 3 x 5 3 x + 1 = 216
Решение:

Преобразуем уравнение


3 x 27 4 3 x 5 3 x 3 = 216

Вынесем 3x за скобки


3 x ( 27 4 15 ) = 216
3 x 8 = 216
3 x = 27
x = log 3 27 = 3
Ответ: 3



Задача (Вот это поворот)

Решите уравнение


4 3 x 9 2 x = 0
Решение:

Вынесем 2x за скобки (2x≠0).


2 x ( 4 ( 3 2 ) x 9 ) = 0

Положительное число в любой степени так же будет положительным.


Положительное число

Значит, только выражение в скобках может быть равно нулю.


( 3 2 ) x = 9 4

Получается x=2.


Ответ: 2



Задача (Сведение к квадратному)

Решите уравнение.


16 x + 16 = 17 4 x
Решение:

Обозначим 4x за t, чтобы получилось квадратное уравнение.


t 2 17 t + 16 = 0

Корни этого квадратного уравнения будут t1=1, t2=16. Тогда


4 x = 1
x 1 = 0

И второе уравнение


4 x = 16
x 2 = 2
Ответ: 0; 2



Задача (Крепкий орешек)

Решите уравнение


4 x = 2 14 x + 3 49 x
( 2 x ) 2 2 2 x 7 x 3 ( 7 x ) 2 = 0

Обозначим a = 2x (a > 0) и b = 7x (b > 0).


a 2 2 a b 3 b 2 = 0

Решив квадратное уравнение относительно a, получим корни a1 = -b и a2 = 3b.


Тогда уравнение


2 x = 7 x

не имеет корней, т.к. оба выражения больше нуля (2x > 0 и 7x > 0).


Второе уравнение


2 x = 3 7 x
( 2 7 ) x = 3
x = log 2 7 3
Ответ: log 2 7 3

Показательные уравнения, несмотря на свою простоту, могут встречаться в различных математических задачах, как в элементарной математике, так и в более сложных разделах. Основы, рассмотренные в этой статье, являются ключевыми приемами в решении более сложных уравнений. Их использование помогает упростить и ускорить процесс решения, а также повысить эффективность решения задач. Поэтому, понимание основ решения показательных уравнений - это важный этап в обучении математике, который может пригодиться в дальнейшем изучении точных наук.


Успехов!


01-05-2023 в 14:15:39





Поддержать сайт:


Похожая статья:

Планиметрия - Задачи на площадь треугольника

Привет! Это первая статья посвящённая ЕГЭ по математике профильному ур...

Категория: Математика  Подкатегория: Планиметрия
Дата: 02-03-2023 в 16:24:25 0



Оставить коментарий:



Напишите email, чтобы получать сообщения о новых комментариях (необязательно):


Задача против робота. Расположите картинки горизонтально:




Нажимая кнопку Отправить, Вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности сайта.