Математика - показательные уравнения (основы)

Показательные уравнения - это один из разделов алгебры, который изучает уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Этот раздел математики важен не только для школьников, но и для студентов технических специальностей, так как широко используется в инженерных расчетах и научных исследованиях. Показательные уравнения имеют множество приложений в различных областях, включая физику, экономику, информатику и другие. В данной статье мы рассмотрим основные понятия и методы решения показательных уравнений, а также приведем несколько примеров задач для лучшего понимания темы.

Показательные уравнения.

Уравнение

$$a^x=b$$

называют простейшим показательным уравнением.

Задача (Разминка)

Решите уравнение

$${\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\right)}^x=4$$ Решение:

Уравнение имеет один корень.

$$x={\log }_{ \frac{1}{2}}4=-2$$
Ответ: -2

Можно перейти от показательного уравнения к алгебраическому.

Например

$${\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\right)}^x=4$$
$$2^{-x}=2^2$$
$$x=-2$$

Задача (Разогреваемся)

Решите уравнение

$$3^x=5$$
Решение:

Если уравнение не имеет целочисленного значения x, то ответ следует записать с использованием логарифма.

$$x={\log }_{3}5$$
Ответ: log₃5

При решении показательных уравнений часто приходится использовать свойства степеней.

Задача (Набираем обороты)

Решите уравнение

$$3^{x+3}-4\cdot 3^x-5\cdot 3^{x+1}=216$$
Решение:

Преобразуем уравнение

$$3^x\cdot 27-4\cdot 3^x-5\cdot 3^x\cdot 3=216$$

Вынесем 3^x за скобки

$$3^x\cdot (27-4-15)=216$$
$$3^x\cdot 8=216$$
$$3^x=27$$
$$x={\log }_{3}27=3$$
Ответ: 3



Задача (Вот это поворот)

Решите уравнение

$$4\cdot 3^x-9\cdot 2^x=0$$
Решение:

Вынесем 2^x за скобки (2^x≠0).

$$2^x\cdot \left(\begin{array}{c}4\cdot {\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}\right)}^x-9\end{array}\right)=0$$

Положительное число в любой степени так же будет положительным.

Значит, только выражение в скобках может быть равно нулю.

$${\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}\right)}^x=\frac{9}{4}$$

Получается x=2.

Ответ: 2



Задача (Сведение к квадратному)

Решите уравнение.

$${16}^x+16=17\cdot 4^x$$
Решение:

Обозначим 4^x за t, чтобы получилось квадратное уравнение.

$$t^2-17\cdot t+16=0$$

Корни этого квадратного уравнения будут t₁=1, t₂=16. Тогда

$$4^x=1$$
$$x_1=0$$

И второе уравнение

$$4^x=16$$
$$x_2=2$$
Ответ: 0; 2



Задача (Крепкий орешек)

Решите уравнение

$$4^x=2\cdot {14}^x+3\cdot {49}^x$$
$$(2^x{)}^2-2\cdot 2^x\cdot 7^x-3\cdot (7^x{)}^2=0$$

Обозначим a = 2^x (a > 0) и b = 7^x (b > 0).

$$a^2-2ab-3b^2=0$$

Решив квадратное уравнение относительно a, получим корни a₁ = -b и a₂ = 3b.

Тогда уравнение

$$2^x=-7^x$$

не имеет корней, т.к. оба выражения больше нуля (2^x > 0 и 7^x > 0).

Второе уравнение

$$2^x=3\cdot 7^x$$
$${\left(\begin{array}{c}\frac{2}{7}\end{array}\right)}^x=3$$
$$x={\log }_{\frac{2}{7}}3$$
Ответ: ${\log }_{\frac{2}{7}}3$

Показательные уравнения, несмотря на свою простоту, могут встречаться в различных математических задачах, как в элементарной математике, так и в более сложных разделах. Основы, рассмотренные в этой статье, являются ключевыми приемами в решении более сложных уравнений. Их использование помогает упростить и ускорить процесс решения, а также повысить эффективность решения задач. Поэтому, понимание основ решения показательных уравнений - это важный этап в обучении математике, который может пригодиться в дальнейшем изучении точных наук.

Успехов!