вентилятор
Удачи на экзаменах!

Планиметрия - Задачи на подобные треугольники



Привет! Продолжаем повторять основы планиметрии.


Сегодня будем решать задачи на подобные треугольники.





Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.



Подобные треугольники

AB и DE, BC и EF, AC и DF — сходственные стороны.


Отношением сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия k


Коэффициент подобия




Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.


Отношение площадей в подобных треугольниках




Признаки подобия треугольников


1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.


Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, то эти треугольники подобны.


2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.


Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если AB/DE = AC/DF и ∠A = ∠D, то эти треугольники подобны.


3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.


Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если AB/DE = BC/EF = AC/DF, то такие треугольники подобны.



Задачи на подобие треугольников.


Задача (Средняя линия треугольника)

В треугольнике ABC средняя линия MN параллельна стороне AC. Найдите площадь трапеции AMNC, если площадь треугольника ABC равна 60.


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на среднюю линию треугольника)


Решение:

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине.


Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол ∠BAC = ∠BMN (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых AC и MN и секущей BA). Угол ∠B — общий. Значит, по первому признаку подобия треугольники ABC и MBN подобны.


Коэффициент подобия равен k=AC/MN. Т.к. средняя линия равна половине стороне, которой она параллельна, то коэффициент подобия для вышеуказанных треугольников равен k=AC/MN=2.


Т.к. эти треугольники подобны, то отношение площадей равно


Отношение площадей, задача

Площадь трапеции AMNC равна


Задача - ЕГЭ по математике (Отношение площадей подобных треугольников, решение)

Ответ: 45



Задача (Средняя линия треугольника, закрепление)

Точки D и E являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AE и CD пересекаются в точке О, СD=9. Найдите CO.


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на среднюю линию треугольника 2)


Решение:

Проведём отрезок DE. Этот отрезок будет средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, отрезок DE будет параллелен стороне AC, и AC = 2∙DE


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на среднюю линию треугольника 2, решение)

Рассмотрим треугольники AOC и EOD.


∠EAC = ∠AED (Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DE и секущей AE).


∠DCA = ∠CDE (Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DE и секущей DC)


Следовательно, AOC и EOD подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен k=AC/ED = 2.


Пусть CO=x. Тогда


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на среднюю линию треугольника 2, решение продолжение)

Ответ: 6



Задача (Классическая)

В треугольнике ABC BC=5, AC=4. Проведена биссектриса CD. Треугольник CBD — равнобедренный (основание CB). Найдите сторону AB.


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на подобие треугольника)

Решение:

Т.к. треугольник CBD равнобедренный, где CB — основание, то углы при основании равны ∠BCD = ∠CBD, а, значит, все три угла равны ∠BCD = ∠CBD = ∠DCA (ведь CD — биссектриса).


Рассмотрим треугольники CDA и BCA.


∠A — общий, ∠DCA = ∠CBA ⇒ треугольники CDA и BCA подобны по двум углам.


Следовательно, стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника по определению. Обозначим, BA=x, BD=CD=y.


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на подобие треугольника, решение)




Тогда


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на подобие треугольника, классика)

Из первой и второй дроби.


x∙y=20 (1)

Из первой и третьей дроби.


4∙4 = x∙(x-y)
16 = x2 - x∙y

x∙y возьмём из (1)

16 = x2 - 20
x2 = 36
x = 6

Ответ: 6



Задача (Две высоты)

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Отрезки соответственно равны BE=2, AB=5, DE=2,4. Найдите AC.


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на подобие треугольников 4)


Решение:

Из прямоугольного треугольника AEB:


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на подобие треугольников 4, решение)

Из прямоугольного треугольника CDB:


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на подобие треугольников 4, решение 2)

Тогда


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на подобие треугольников 4, отношение сторон)




Если рассмотреть треугольники EBD и ABC (∠B — Общий), то они будут подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).


ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на подобие треугольников 4, отношение сторон 2)

ЕГЭ по математике - Задание 1 (задача на подобие треугольников 4, отношение сторон 3)

Ответ: 6



Задача (Достраиваем трапецию до треугольника)

Точка M лежит на боковой стороне AB трапеции ABCD, причём AM:MB = 1:2. Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям AD и BC, пересекает боковую сторону CD в точке N. Найдите MN, если AD=10 и BC=7.


Задача на подобие треугольников (трапеция)

Решение:

Достроим трапецию до треугольника. Обозначим MN за x, BK за с, AM за y (это одна часть), тогда BM=2y (две части).


Задача на подобие треугольников (трапеция) - решение

Рассмотрим треугольники MKN и BKC.


1) Угол ∠К — общий
2) ∠KNM = ∠KCB (Соответственные углы при параллельных прямых BC и MN и секущей KD)



Значит, треугольники MKN и BKC подобны по двум углам.


Получается


Задача на подобие треугольников (трапеция) - решение 2

Аналогично треугольник AKD подобен треугольнику BKC. Тогда


Задача на подобие треугольников (трапеция) - решение 4

Задача на подобие треугольников (трапеция) - решение 6

Задача на подобие треугольников (трапеция) - решение 7

Задача на подобие треугольников (трапеция) - решение 8

Подставим c в первое соотношение.


Задача на подобие треугольников (трапеция) - решение 9

Ответ получается 9.


Ответ: 9

Удачи при решении задач из планиметрии.






13-03-2023 в 16:00:34






Поддержать сайт:


Похожая статья:

Математика - теория вероятности

Привет! Сегодня повторим основы теории вероятности школьного курса мат...

Категория: Математика  Подкатегория: -
Дата: 30-03-2023 в 13:28:54 0



Оставить коментарий:



Напишите email, чтобы получать сообщения о новых комментариях (необязательно):


Задача против робота. Расположите картинки горизонтально:




Нажимая кнопку Отправить, Вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности сайта.