СВЕТ: СПАСИБО
01-12-2023
Читать статью
Калужский Александр: Задача про Цаплю: https://www.youtube.co..
24-11-2023
Сергей: спасибо большое
Привет! Продолжаем повторять основы планиметрии.
Сегодня будем решать задачи на подобные треугольники.
Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
AB и DE, BC и EF, AC и DF — сходственные стороны.
Отношением сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия k
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, то эти треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если AB/DE = AC/DF и ∠A = ∠D, то эти треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если AB/DE = BC/EF = AC/DF, то такие треугольники подобны.
В треугольнике ABC средняя линия MN параллельна стороне AC. Найдите площадь трапеции AMNC, если площадь треугольника ABC равна 60.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине.
Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол ∠BAC = ∠BMN (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых AC и MN и секущей BA). Угол ∠B — общий. Значит, по первому признаку подобия треугольники ABC и MBN подобны.
Коэффициент подобия равен k=AC/MN. Т.к. средняя линия равна половине стороне, которой она параллельна, то коэффициент подобия для вышеуказанных треугольников равен k=AC/MN=2.
Т.к. эти треугольники подобны, то отношение площадей равно
Площадь трапеции AMNC равна
Точки D и E являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AE и CD пересекаются в точке О, СD=9. Найдите CO.
Проведём отрезок DE. Этот отрезок будет средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, отрезок DE будет параллелен стороне AC, и AC = 2∙DE
Рассмотрим треугольники AOC и EOD.
∠EAC = ∠AED (Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DE и секущей AE).
∠DCA = ∠CDE (Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DE и секущей DC)
Следовательно, AOC и EOD подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен k=AC/ED = 2.
Пусть CO=x. Тогда
В треугольнике ABC BC=5, AC=4. Проведена биссектриса CD. Треугольник CBD — равнобедренный (основание CB). Найдите сторону AB.
Т.к. треугольник CBD равнобедренный, где CB — основание, то углы при основании равны ∠BCD = ∠CBD, а, значит, все три угла равны ∠BCD = ∠CBD = ∠DCA (ведь CD — биссектриса).
Рассмотрим треугольники CDA и BCA.
∠A — общий, ∠DCA = ∠CBA ⇒ треугольники CDA и BCA подобны по двум углам.
Следовательно, стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника по определению. Обозначим, BA=x, BD=CD=y.
Тогда
Из первой и второй дроби.
Из первой и третьей дроби.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Отрезки соответственно равны BE=2, AB=5, DE=2,4. Найдите AC.
Из прямоугольного треугольника AEB:
Из прямоугольного треугольника CDB:
Если рассмотреть треугольники EBD и ABC (∠B — Общий), то они будут подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).
Точка M лежит на боковой стороне AB трапеции ABCD, причём AM:MB = 1:2. Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям AD и BC, пересекает боковую сторону CD в точке N. Найдите MN, если AD=10 и BC=7.
Достроим трапецию до треугольника. Обозначим MN за x, BK за с, AM за y (это одна часть), тогда BM=2y (две части).
Рассмотрим треугольники MKN и BKC.
Значит, треугольники MKN и BKC подобны по двум углам.
Получается
Аналогично треугольник AKD подобен треугольнику BKC. Тогда
Подставим c в первое соотношение.
Ответ получается 9.
Удачи при решении задач из планиметрии.