Планиметрия - Задачи на подобные треугольники

Привет! Продолжаем повторять основы планиметрии.

Сегодня будем решать задачи на подобные треугольники.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

AB и DE, BC и EF, AC и DF — сходственные стороны.

Отношением сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия k

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, то эти треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если AB/DE = AC/DF и ∠A = ∠D, то эти треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если AB/DE = BC/EF = AC/DF, то такие треугольники подобны.

Задачи на подобие треугольников.

Задача (Средняя линия треугольника)

В треугольнике ABC средняя линия MN параллельна стороне AC. Найдите площадь трапеции AMNC, если площадь треугольника ABC равна 60.

Решение:

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине.

Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол ∠BAC = ∠BMN (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых AC и MN и секущей BA). Угол ∠B — общий. Значит, по первому признаку подобия треугольники ABC и MBN подобны.

Коэффициент подобия равен k=AC/MN. Т.к. средняя линия равна половине стороне, которой она параллельна, то коэффициент подобия для вышеуказанных треугольников равен k=AC/MN=2.

Т.к. эти треугольники подобны, то отношение площадей равно

Площадь трапеции AMNC равна

Ответ: 45



Задача (Средняя линия треугольника, закрепление)

Точки D и E являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AE и CD пересекаются в точке О, СD=9. Найдите CO.

Решение:

Проведём отрезок DE. Этот отрезок будет средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, отрезок DE будет параллелен стороне AC, и AC = 2∙DE

Рассмотрим треугольники AOC и EOD.

∠EAC = ∠AED (Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DE и секущей AE).

∠DCA = ∠CDE (Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DE и секущей DC)

Следовательно, AOC и EOD подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен k=AC/ED = 2.

Пусть CO=x. Тогда

Ответ: 6



Задача (Классическая)

В треугольнике ABC BC=5, AC=4. Проведена биссектриса CD. Треугольник CBD — равнобедренный (основание CB). Найдите сторону AB.

Решение:

Т.к. треугольник CBD равнобедренный, где CB — основание, то углы при основании равны ∠BCD = ∠CBD, а, значит, все три угла равны ∠BCD = ∠CBD = ∠DCA (ведь CD — биссектриса).

Рассмотрим треугольники CDA и BCA.

∠A — общий, ∠DCA = ∠CBA ⇒ треугольники CDA и BCA подобны по двум углам.

Следовательно, стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника по определению. Обозначим, BA=x, BD=CD=y.

Тогда

Из первой и второй дроби.

x∙y=20 (1)

Из первой и третьей дроби.

4∙4 = x∙(x-y)
16 = x² - x∙y

x∙y возьмём из (1)

16 = x² - 20
x² = 36
x = 6
Ответ: 6



Задача (Две высоты)

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Отрезки соответственно равны BE=2, AB=5, DE=2,4. Найдите AC.

Решение:

Из прямоугольного треугольника AEB:

Из прямоугольного треугольника CDB:

Тогда

Если рассмотреть треугольники EBD и ABC (∠B — Общий), то они будут подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Ответ: 6



Задача (Достраиваем трапецию до треугольника)

Точка M лежит на боковой стороне AB трапеции ABCD, причём AM:MB = 1:2. Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям AD и BC, пересекает боковую сторону CD в точке N. Найдите MN, если AD=10 и BC=7.

Решение:

Достроим трапецию до треугольника. Обозначим MN за x, BK за с, AM за y (это одна часть), тогда BM=2y (две части).

Рассмотрим треугольники MKN и BKC.

1) Угол ∠К — общий
2) ∠KNM = ∠KCB (Соответственные углы при параллельных прямых BC и MN и секущей KD)

Значит, треугольники MKN и BKC подобны по двум углам.

Получается

Аналогично треугольник AKD подобен треугольнику BKC. Тогда

Подставим c в первое соотношение.

Ответ получается 9.

Ответ: 9

Удачи при решении задач из планиметрии.