вентилятор
Удачи на экзаменах!

Математика - производная функции



Здравствуйте! Математика - это наука, которая изучает структуру, свойства и отношения между числами, формулами и объектами. Одной из ключевых тем в математике является анализ, который включает в себя изучение функций и их производных. Производная функции - это основной инструмент анализа, который используется для определения скорости изменения функции в каждой точке ее области определения.


Обычно производная функции обозначается символом штриха (') после названия функции. Так, если функция называется f(x), то ее производную по переменной x можно обозначить как f'(x). Это стандартное обозначение производной, которое используется в математике и связанных с ней дисциплинах.






Производной функции y = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в точке x данного интервала, называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

f ( x ) = lim Δ x 0 Δ f Δ x


Таблица производных элементарных функций


Чтобы научится вычислять производные, нужно наизусть знать таблицу производных самых простейших функций:


Таблица производных элементарных функций


Производные сложных функций


Важно запомнить следующие формулы, которые помогут свести вычисление производных сложных функций к табличным функциям.


Формулы производных сложных функций




Задачи на нахождение производной


Задача (Разминка)

Найдите производную функции


f ( x ) = x 20 Решение:

Воспользуемся табличной формулой:


f ( x ) = ( x 20 ) = 20 x 19
Ответ: 20 x 19



Задача (Производная суммы)

Найдите производную функции


x 3 4 x 2 + 2 x + 1 Решение:

Эта функция имеет простую структуру и подходит для тренировки вычисления производной. Для нахождения производной этой функции нужно сначала взять производную каждого члена отдельно, затем сложить результаты. Таким образом, производная функции f(x) равна f ( x ) = 3 x 2 8 x + 2 .


Ответ: 3 x 2 8 x + 2

Задача (Производная произведения)

Найдите производную функции


f ( x ) = x s i n ( x ) Решение:

Эта функция содержит произведение двух элементарных функций x и sin(x). Для нахождения производной функции f(x) нужно использовать формулу, которая приведена выше в статье. В результате мы получим, что производная функции f(x) равна f ( x ) = x c o s ( x ) + s i n ( x )


Ответ: x c o s ( x ) + s i n ( x )



Задача (Производная дроби)

Найдите производную функции


f ( x ) = x 2 + 1 c o s ( x ) Решение:

Эта функция содержит дробь. Для нахождения производной функции f(x) нужно использовать правило производной дроби, которое гласит, что производная дробной функции равна разности произведения производной числителя и знаменателя и произведения числителя и производной знаменателя, деленного на квадрат знаменателя. В результате мы получим, что производная функции f(x) равна ( 2 x c o s ( x ) + ( x 2 + 1 ) s i n ( x ) ) c o s 2 ( x ) .


Ответ: ( 2 x c o s ( x ) + ( x 2 + 1 ) s i n ( x ) ) c o s 2 ( x )

Задача (Производная сложной функции)

Найдите производную функции

f ( x ) = ( x 2 + 3 x 5 ) 3 2 Решение:

Воспользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Это последняя формула в этой статье.


f ( x ) = 3 2 ( x 2 + 3 x 5 ) 1 2 ( 2 x + 3 )
Ответ: f ( x ) = 3 2 ( x 2 + 3 x 5 ) 1 2 ( 2 x + 3 )



Применения производной


Если вы хотите определить, когда функция возрастает или убывает на некотором промежутке, вы можете использовать производную функции. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке, а её знак (положительный или отрицательный) указывает, увеличивается ли функция в этой точке или уменьшается.


Предположим, что у нас есть функция f(x), которая определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Если производная функции f'(x) положительна на интервале (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале.


Пример возрастающей функции:


Пример возрастающей функции


Если производная функции f'(x) отрицательна на интервале (a, b), то функция f(x) убывает на этом интервале.


Пример убывающей функции:


Пример убывающей функции




Если же производная равна нулю в некоторой точке, то функция в этой точке может иметь экстремум (локальный максимум или локальный минимум).


Однако, не все точки, в которых производная равна нулю, являются точками экстремума, поскольку в этих точках могут быть точки перегиба.


Если производная функции меняет знак в точке, то это указывает на то, что функция имеет экстремум в этой точке. Если производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, то это указывает на локальный максимум функции, а если с отрицательного на положительный, то это указывает на локальный минимум функции.


Одна и та же функция может иметь несколько точек локального максимума и минимума с различными значениями функции в них.






Внутренние точки отрезка, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует, называют критическими точками функции f(x) на этом отрезке.


Задача (Поиск максимума и минимума функции на отрезке)

Найдите максимум и минимум функции y = x 3 3 x 2 на отрезке [-1; 3].


Решение:

При поиске максимума и минимума функции на отрезке надо найти критические точки лежащие внутри этого отрезка, и сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках.


Найдём производную функции.


y = 3 x 2 6 x = x ( 3 x 6 )

В ноль обращается производная в точках x1 = 0 и x2 = 2. Это критические точки.


Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка.


f ( 1 ) = 1 3 = 4
f ( 0 ) = 0
f ( 2 ) = 8 12 = 4
f ( 3 ) = 27 27 = 0

Получается, что минимум данной функции на отрезке [-1; 3] равен -4. Максимум данной функции на отрезке [-1; 3] равен 0.


Ответ: Минимум -4; максимум 0.



С помощью метода интервалов в предыдущей задаче можно найти, когда функция возрастает, а когда убывает на данном отрезке.


Промежутки возрастания и убывания функции


Учитывая заданный в задаче отрезок, получается, что производная больше нуля для x ∈ [-1;0) ∪ (2; 3]. При этих значениях x функция возрастает. При x ∈ (0; 2) производная меньше нуля, следовательно, функция на этом интервале убывает.



График функции




Геометрический смысл производной


Значение производной функции y=f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0; f(x0)).

k = f ( x 0 ) = t g ( α )

Рассмотрим функцию y = x2.


Геометрический смысл производной



Производная данной функции равна


y = 2 x

В точке x0=2 проведём касательную к функции y=x2. Тогда тангенс угла наклона касательной будет равен 4, т.е.


t g ( α ) = y ( x 0 ) = 2 x 0 = 2 2 = 4


07-05-2023 в 10:07:45






Поддержать сайт:


Похожая статья:

Планиметрия - Задачи на подобные треугольники

Продолжаем повторять основы планиметрии в 1 задании из ЕГЭ по математи...

Категория: Математика  Подкатегория: Планиметрия
Дата: 13-03-2023 в 16:00:34 0



Оставить коментарий:



Напишите email, чтобы получать сообщения о новых комментариях (необязательно):


Задача против робота. Расположите картинки горизонтально:




Нажимая кнопку Отправить, Вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности сайта.