Математика - производная функции

Здравствуйте! Математика - это наука, которая изучает структуру, свойства и отношения между числами, формулами и объектами. Одной из ключевых тем в математике является анализ, который включает в себя изучение функций и их производных. Производная функции - это основной инструмент анализа, который используется для определения скорости изменения функции в каждой точке ее области определения.

Обычно производная функции обозначается символом штриха (') после названия функции. Так, если функция называется f(x), то ее производную по переменной x можно обозначить как f'(x). Это стандартное обозначение производной, которое используется в математике и связанных с ней дисциплинах.

Таблица производных элементарных функций

Чтобы научится вычислять производные, нужно наизусть знать таблицу производных самых простейших функций:

Производные сложных функций

Важно запомнить следующие формулы, которые помогут свести вычисление производных сложных функций к табличным функциям.

Задачи на нахождение производной

Найдите производную функции

Воспользуемся табличной формулой:

Найдите производную функции

Эта функция имеет простую структуру и подходит для тренировки вычисления производной. Для нахождения производной этой функции нужно сначала взять производную каждого члена отдельно, затем сложить результаты. Таким образом, производная функции f(x) равна $f(x{)}^{\prime }=3x^2-8x+2$.

Найдите производную функции

Эта функция содержит произведение двух элементарных функций x и sin(x). Для нахождения производной функции f(x) нужно использовать формулу, которая приведена выше в статье. В результате мы получим, что производная функции f(x) равна $f^{\prime }(x)=xcos(x)+sin(x)$

Найдите производную функции

Эта функция содержит дробь. Для нахождения производной функции f(x) нужно использовать правило производной дроби, которое гласит, что производная дробной функции равна разности произведения производной числителя и знаменателя и произведения числителя и производной знаменателя, деленного на квадрат знаменателя. В результате мы получим, что производная функции f(x) равна $\frac{(2x\cdot cos(x)+(x^2+1)\cdot sin(x))}{co{s}^2(x)}$.

Найдите производную функции

Воспользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Это последняя формула в этой статье.

Применения производной

Если вы хотите определить, когда функция возрастает или убывает на некотором промежутке, вы можете использовать производную функции. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке, а её знак (положительный или отрицательный) указывает, увеличивается ли функция в этой точке или уменьшается.

Предположим, что у нас есть функция f(x), которая определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Если производная функции f'(x) положительна на интервале (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Пример возрастающей функции:

Если производная функции f'(x) отрицательна на интервале (a, b), то функция f(x) убывает на этом интервале.

Пример убывающей функции:

Если же производная равна нулю в некоторой точке, то функция в этой точке может иметь экстремум (локальный максимум или локальный минимум).

Однако, не все точки, в которых производная равна нулю, являются точками экстремума, поскольку в этих точках могут быть точки перегиба.

Если производная функции меняет знак в точке, то это указывает на то, что функция имеет экстремум в этой точке. Если производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, то это указывает на локальный максимум функции, а если с отрицательного на положительный, то это указывает на локальный минимум функции.

Одна и та же функция может иметь несколько точек локального максимума и минимума с различными значениями функции в них.

Найдите максимум и минимум функции $y=x^3-3x^2$ на отрезке [-1; 3].

При поиске максимума и минимума функции на отрезке надо найти критические точки лежащие внутри этого отрезка, и сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках.

Найдём производную функции.

В ноль обращается производная в точках x₁ = 0 и x₂ = 2. Это критические точки.

Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Получается, что минимум данной функции на отрезке [-1; 3] равен -4. Максимум данной функции на отрезке [-1; 3] равен 0.

С помощью метода интервалов в предыдущей задаче можно найти, когда функция возрастает, а когда убывает на данном отрезке.

Учитывая заданный в задаче отрезок, получается, что производная больше нуля для x ∈ [-1;0) ∪ (2; 3]. При этих значениях x функция возрастает. При x ∈ (0; 2) производная меньше нуля, следовательно, функция на этом интервале убывает.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим функцию y = x².

Производная данной функции равна

В точке x₀=2 проведём касательную к функции y=x². Тогда тангенс угла наклона касательной будет равен 4, т.е.