Математика - решение неравенств (метод интервалов)

Решение неравенств является важной задачей в математике, которая находит применение в различных областях, от естественных наук до экономики и финансов. Неравенства могут быть сложными для решения, особенно если они содержат неизвестные в знаменателе. Один из методов решения неравенств - это метод интервалов, который позволяет определить интервалы значений, в которых искомые переменные удовлетворяют неравенству. В этой статье мы рассмотрим, как использовать метод интервалов для решения различных типов неравенств и как он может помочь вам решать математические задачи более эффективно.

Пусть у нас есть неравенство вида

где f(x) и g(x) - многочлены, которые уже разложены на простейшие множители, т.е. являются произведениями многочленов вида (x-a).

Рассмотрим решение неравенств методом интервалов на примерах.

Задача (Неравенство в стандартном виде)

Решите неравенство

$$\frac{(x-4{)}^2(x-8{)}^3(x+2)}{(x-3)(x+5{)}^4}\ge 0$$ Решение:

Отметим на числовой прямой точки, которые обращают в ноль и числитель, и знаменатель.

Т.к. знаменатель не может быть равен нулю, то те точки, которые обращают в ноль знаменатель рисуем "выколотые".

Т.к. неравенство нестрогое, то точки, которые обращают в ноль числитель, рисуются закрашенными. Если бы неравенство было бы строгим, точки, которые обращают в ноль числитель, следует так же сделать "выколотыми".

Далее, рисуем "змейку" справа налево. "Змейка" меняет знак на нечётной степени и сохраняет знак на чётной степени.

Если неравенство находится в стандартном виде, как в нашем случае, то "змейка" начинается с положительного знака. Обязательно должно быть (x-3), а не (2-x), именно x-8, а не 8-x и т.д. Этого всегда можно добиться, умножая неравенство на -1.

Нам нужно, чтобы дробь была ≥ 0. Можно написать уже ответ. Выбираем те интервалы, где положительный знак, а так же точки, которые обращают дробь в ноль.

Важно не забыть точку 4.

Скобки будут квадратными, если точка закрашенная, и круглыми, если точка "выколотая".

Ответ: x ∈ [-2; 3) ∪ {4} ∪ [8; +∞)

Задача (Без дроби)

Решите неравенство

$$(x-1)(x-2)(x-3)>0$$ Решение:

Когда нет дроби, решаем по тому же принцу, делая метод интервалов как бы только для знаменателя.

Ответ: x ∈ (1; 2) ∪ (3; +∞)



Задача (Приводим к стандартному виду)

Решите неравенство

$$(3-x)(2-x{)}^2\ge 0$$ Решение:

Здесь видим, что неравенство не в стандартном виде, чтобы мы применили метод интервалов, описанный выше. Нужно привести его в стандартный вид.

Поменяем в первом выражении x и 3 местами, домножив неравенство на -1.

$$(x-3)(2-x{)}^2\le 0$$

Слагаемые внутри скобок, которые находятся в чётной степени, можно менять и умножать на -1 не нужно.

$$(x-3)(x-2{)}^2\le 0$$

Теперь неравенство находится в стандартном виде, и его можно решить методом интервалов.

Теперь нам нужно выбрать интервалы с отрицательными знаками. Так же берём точку 2 и 3, где выражение обращается в ноль.

Ответ: x ∈ (-∞; 3]



Задача (Квадратный трёхчлен)

Решите неравенство

$$2x^2+x-7\ge 0$$ Решение:

Здесь мы видим квадратный трёхчлен. Нам нужно привести неравенство к стандартному виду. Воспользуемся формулой разложения на множители квадратного трёхчлена.

Найдём корни квадратного уравнения

$$2x^2+x-7=0$$
$$x_1=\frac{-1-\sqrt{57}}{4}$$
$$x_2=\frac{-1+\sqrt{57}}{4}$$

Тогда, получим неравенство в стандартном виде

$$(x+\frac{1+\sqrt{57}}{4})(x+\frac{1-\sqrt{57}}{4})\ge 0$$


Ответ: x ∈ (-∞ ; $\frac{-1-\sqrt{57}}{4}$] ∪ [$\frac{-1+\sqrt{57}}{4}$ ; +∞)



Задача (Крепкий орешек)

Решите уравнение

$$\frac{x}{x+3}+\frac{2}{x-2}<\frac{5x}{(x+3)(x-2)}$$ Решение:

Перенесём всё в левую часть неравенства и просуммируем дроби.

$$\frac{x^2-5x+6}{(x+3)(x-2)}<0$$

Квадратный трёхчлен разложим на множители:

$$\frac{(x-2)(x-3)}{(x+3)(x-2)}<0$$

Такое неравенство можно заменить эквивалентным:

$$(x-2)(x-3)(x+3)(x-2)<0$$
$$(x+3)(x-2{)}^2(x-3)<0$$
Ответ: x ∈ (-3; 2) ∪ (2; 3)

В заключение, можно отметить, что метод интервалов является эффективным инструментом для решения неравенств, особенно в тех случаях, когда выражение может быть представлено в виде множителей, а с другой стороны неравенство находится ноль. Этот метод может существенно ускорить процесс решения неравенств, сократить количество ошибок и упростить аналитические выкладки. Однако, следует помнить, что не все неравенства могут быть решены с помощью метода интервалов, и в некоторых случаях может потребоваться использование других методов.