вентилятор
Удачи на экзаменах!

Математика - решение неравенств (метод интервалов)



Решение неравенств является важной задачей в математике, которая находит применение в различных областях, от естественных наук до экономики и финансов. Неравенства могут быть сложными для решения, особенно если они содержат неизвестные в знаменателе. Один из методов решения неравенств - это метод интервалов, который позволяет определить интервалы значений, в которых искомые переменные удовлетворяют неравенству. В этой статье мы рассмотрим, как использовать метод интервалов для решения различных типов неравенств и как он может помочь вам решать математические задачи более эффективно.





Пусть у нас есть неравенство вида


Математика - решение неравенств (метод интервалов)

где f(x) и g(x) - многочлены, которые уже разложены на простейшие множители, т.е. являются произведениями многочленов вида (x-a).


Рассмотрим решение неравенств методом интервалов на примерах.


Задача (Неравенство в стандартном виде)

Решите неравенство


( x 4 ) 2 ( x 8 ) 3 ( x + 2 ) ( x 3 ) ( x + 5 ) 4 0 Решение:

Отметим на числовой прямой точки, которые обращают в ноль и числитель, и знаменатель.


Т.к. знаменатель не может быть равен нулю, то те точки, которые обращают в ноль знаменатель рисуем "выколотые".

Решение неравенств - метод интервалов

Т.к. неравенство нестрогое, то точки, которые обращают в ноль числитель, рисуются закрашенными. Если бы неравенство было бы строгим, точки, которые обращают в ноль числитель, следует так же сделать "выколотыми".


Далее, рисуем "змейку" справа налево. "Змейка" меняет знак на нечётной степени и сохраняет знак на чётной степени.


Решение неравенств - метод интервалов (продолжение)




Если неравенство находится в стандартном виде, как в нашем случае, то "змейка" начинается с положительного знака. Обязательно должно быть (x-3), а не (2-x), именно x-8, а не 8-x и т.д. Этого всегда можно добиться, умножая неравенство на -1.


Нам нужно, чтобы дробь была ≥ 0. Можно написать уже ответ. Выбираем те интервалы, где положительный знак, а так же точки, которые обращают дробь в ноль.


x ∈ [-2; 3) ∪ {4} ∪ [8; +∞)

Важно не забыть точку 4.


Скобки будут квадратными, если точка закрашенная, и круглыми, если точка "выколотая".


Ответ: x ∈ [-2; 3) ∪ {4} ∪ [8; +∞)

Задача (Без дроби)

Решите неравенство

( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 ) > 0 Решение:

Когда нет дроби, решаем по тому же принцу, делая метод интервалов как бы только для знаменателя.


Задача 2 - метод интервалов
Ответ: x ∈ (1; 2) ∪ (3; +∞)



Задача (Приводим к стандартному виду)

Решите неравенство

( 3 x ) ( 2 x ) 2 0 Решение:

Здесь видим, что неравенство не в стандартном виде, чтобы мы применили метод интервалов, описанный выше. Нужно привести его в стандартный вид.


Поменяем в первом выражении x и 3 местами, домножив неравенство на -1.


( x 3 ) ( 2 x ) 2 0
Когда левая и правая часть неравенства умножается на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Слагаемые внутри скобок, которые находятся в чётной степени, можно менять и умножать на -1 не нужно.


( x 3 ) ( x 2 ) 2 0

Теперь неравенство находится в стандартном виде, и его можно решить методом интервалов.


Задача 3 - метод интервалов

Теперь нам нужно выбрать интервалы с отрицательными знаками. Так же берём точку 2 и 3, где выражение обращается в ноль.


Ответ: x ∈ (-∞; 3]



Задача (Квадратный трёхчлен)

Решите неравенство


2 x 2 + x 7 0 Решение:

Здесь мы видим квадратный трёхчлен. Нам нужно привести неравенство к стандартному виду. Воспользуемся формулой разложения на множители квадратного трёхчлена.


Разложение на множители квадратного трёхчлена

Найдём корни квадратного уравнения


2 x 2 + x 7 = 0
x 1 = 1 57 4
x 2 = 1 + 57 4

Тогда, получим неравенство в стандартном виде


( x + 1 + 57 4 ) ( x + 1 57 4 ) 0
Метод интервалов - задача 4


Ответ: x ∈ (-∞ ; 1 57 4 ] ∪ [ 1 + 57 4 ; +∞)



Задача (Крепкий орешек)

Решите уравнение


x x + 3 + 2 x 2 < 5 x ( x + 3 ) ( x 2 ) Решение:

Перенесём всё в левую часть неравенства и просуммируем дроби.


x 2 5 x + 6 ( x + 3 ) ( x 2 ) < 0

Квадратный трёхчлен разложим на множители:


( x 2 ) ( x 3 ) ( x + 3 ) ( x 2 ) < 0

Такое неравенство можно заменить эквивалентным:


( x 2 ) ( x 3 ) ( x + 3 ) ( x 2 ) < 0
( x + 3 ) ( x 2 ) 2 ( x 3 ) < 0
Метод интервалов - задача 5
Ответ: x ∈ (-3; 2) ∪ (2; 3)

В заключение, можно отметить, что метод интервалов является эффективным инструментом для решения неравенств, особенно в тех случаях, когда выражение может быть представлено в виде множителей, а с другой стороны неравенство находится ноль. Этот метод может существенно ускорить процесс решения неравенств, сократить количество ошибок и упростить аналитические выкладки. Однако, следует помнить, что не все неравенства могут быть решены с помощью метода интервалов, и в некоторых случаях может потребоваться использование других методов.



04-05-2023 в 10:58:08






Поддержать сайт:


Похожая статья:

Математика - показательные уравнения (основы)

В этой статье посмотрим основы решения показательных уравнений....

Категория: Математика  Подкатегория: Уравнения
Дата: 01-05-2023 в 14:15:39 0



Оставить коментарий:



Напишите email, чтобы получать сообщения о новых комментариях (необязательно):


Задача против робота. Расположите картинки горизонтально:




Нажимая кнопку Отправить, Вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности сайта.