Физика - Задачи на линзы

Решение задач на линзы имеет большое значение в контексте ЕГЭ по физике и других вступительных экзаменов, особенно для студентов, выбравших естественнонаучные направления. Задачи на линзы могут быть представлены в различных форматах, включая теоретические вопросы и практические задания, и могут быть частью как физического, так и математического разделов экзаменов. Понимание принципов работы линз и способности решать задачи на линзы являются необходимыми навыками для успешной сдачи экзаменов и продолжения образования в области физики, оптики и других естественных наук.

В этой статье мы говорили об изображениях, даваемые линзой. Она так же будет полезна при решении задач на линзы.

Линзы характеризуются величиной, которая называется оптической силой линзы. Оптическая сила обозначается буквой D.

За единицу оптической силы принята диоптрия (дптр). 1 дптр = $\frac{1}{м}$.

В задачах школьного курса, как правило речь идёт о тонких линзах. Тонкой линзой называют такую линзу, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами сферических поверхностей линзы и расстоянием предмета от линзы.

Формула тонкой линзы

Опыты и расчёты показывают, что между расстоянием d от предмета до линзы, расстоянием f от линзы до изображения и фокусным расстоянием линзы F существует соотношение, которое называется формулой тонкой линзы:

В этой формуле расстояние до изображения берут со знаком "плюс", если изображение действительное, и со знаком "минус", если изображение мнимое. Фокусное расстояние собирающей линзы берут со знаком "плюс", а рассеивающей - со знаком минус.

Далее будет подразумеваться всегда тонкая линза.

Приступим к решению задач.

Задачи на линзы

Задача (Классическая)

Какое расстояние нужно выбрать между собирающей линзой и предметом, чтобы получить его прямое изображение, увеличенное в 2 раза? Известно, что оптическая сила линзы D=+10 дптр. Найдите это расстояние в сантиметрах и округлите до целого числа.

Решение:

Как мы знаем, с помощью собирающей линзы можно получить прямое (не перевёрнутое) увеличенное изображение только, если предмет находится между фокусом и линзой.

Из рисунка видно, что треугольники △АКО и △CDO подобны, т.к. оба треугольника прямоугольные и ∠O - общий. В задаче сказано, что изображение предмета должно быть увеличено в 2 раза. Значит, коэффициент подобия треугольников будет равен:

$$k=\frac{AK}{DC}=2$$

Следовательно,

$$f=2d$$

Воспользуемся формулой для тонкой линзы. Изображение у нас мнимое, значит, перед f ставим знак минус.

$$\frac{1}{d}-\frac{1}{f}=\frac{1}{F}=D$$
$$\frac{1}{d}-\frac{1}{2d}=D$$
$$\frac{1}{2d}=D$$
$$d=\frac{1}{2D}=\frac{1}{2\cdot \mathrm{10\; дптр}}=0,\mathrm{05\; м}$$
Ответ: 5 см



Задача (Действительное изображение)

Найдите коэффициент увеличения изображения предмета.

a)

б)

Решение:

Решим пункт a.

Здесь изображение находится за двойным фокусом. Значит, как мы знаем, в этом случае изображение получается действительным, перевёрнутым, уменьшенным.

Чтобы узнать коэффициент увеличения, нужно найти отношение C₁A₁:CA. Другими словами, нужно найти коэффициент подобия треугольников △A₁C₁O и △ACO. Воспользуемся формулой тонкой линзы.

$$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}$$

F - одна единица (1 клетка), d - 3 единицы (3 клетки).

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{f}=\frac{1}{1}$$
$$f=\frac{3}{2}$$

Коэффициент подобия треугольников △A₁C₁O и △ACO:

$$k=\frac{f}{d}=\frac{1,5}{3}=0,5$$

Значит, коэффициент увеличения изображение тоже равен:

$$k=\frac{A_1{C}_1}{AC}=0,5$$

Решим пункт б.

Когда предмет находится между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы, то изображение получается действительным, увеличенным, перевёрнутым.

Нарисуем примерный рисунок, не соблюдая изначальный масштаб, для экономия места.

Здесь вновь получаются подобные треугольники △A₁C₁O и △ACO, и их коэффициент подобия покажет степень увеличения изображения.

На изначальном рисунке d = 5, F = 4. Применим формулу для тонкой линзы.

$$\frac{1}{5}+\frac{1}{f}=\frac{1}{4}$$
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{20}$$
$$f=20$$

Коэффициент подобия треугольников △A₁C₁O и △ACO равен

$$k=\frac{f}{d}=\frac{20}{5}=4$$
$$k=\frac{A_1{C}_1}{AC}=4$$ Ответ: a) 0,5 б) 4

Исходя из этих примеров, можно сказать, что увеличение предмета в тонкой линзе будет равно

H - размер изображения, h - размер предмета, в м.

Задача (Пользуемся формулой)

На рисунке показан ход двух лучей от точечного источника света A через тонкую линзу.

Какова оптическая сила линзы, если одна клетка на рисунке соответствует 2 см ?

Решение:

Мы видим, что изображение точки A, будет действительным, т.к. лучи пересекаются за самой линзой.

Расстояние от точки до линзы равно d = 6 клеток ∙ 0,02 м = 0,12 м. Расстояние от линзы до изображения точки равно f = 12 клеток ∙ 0,02 м = 0,24 м. Применим формулу тонкой линзы.

$$\frac{1}{0,\mathrm{12\; м}}+\frac{1}{0,\mathrm{24\; м}}=\frac{1}{F}=D$$
$$D=12,\mathrm{5\; дптр}$$ Ответ: 12,5 дптр



Задача (Рассеивающая линза)

В тонкой рассеивающей линзе получено уменьшенное в 5 раз изображение предмета. Определите модуль фокусного расстояния линзы, если предмет находится на расстоянии d = 20 см от линзы.

Решение:

Воспользуемся формулой увеличения линзы. Изображение уменьшено, поэтому формула принимает перевёрнутый вид

$$\frac{d}{f}=\frac{0,\mathrm{2\; м}}{f}=5$$
$$f=\frac{0,\mathrm{2\; м}}{5}=0,\mathrm{04\; м}$$

Теперь не проблема найти фокусное расстояние.

В рассеивающей линзе фокусное расстояние в формулу тонкой линзы подставляем со знаком "минус". Изображение получается в рассеивающей линзе мнимым, поэтому перед f тоже ставим знак "минус".

$$\frac{1}{0,\mathrm{2\; м}}-\frac{1}{\mathrm{0,04\; м}}=-\frac{1}{F}$$
$$F=\mathrm{0,05\; м}$$
Ответ: 0,05 м



Задача (Скорость изображения муравья)

Муравей движется перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы, которая имеет фокусное расстояние F. Он находится на расстоянии $\frac{\mathrm{<b>8</b>}}{\mathrm{<b>3</b>}}$∙F от линзы и движется со скоростью V = 5 см/с. Какая скорость u будет у движущегося изображения муравья?

Решение:
$$d=\frac{8}{3}\cdot F$$

За 1 с муравей реально проползёт 5 см. Узнаем, сколько его изображение проползёт за 1 с.

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{5}=\frac{f}{d}\\ \frac{1}{\frac{8F}{3}}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}\end{array}$$

Составим систему уравнений. Первое уравнение - это формула увеличения линзы, вторая - формула тонкой линзы.

Из второго уравнения выражаем f.

$$f=\frac{8\cdot F}{5}$$

Подставляем в первое.

$$\frac{x}{5}=\frac{\frac{8F}{3}}{\frac{8F}{5}}=\mathrm{3\; см}$$

Получается за 1 с изображение муравья пройдёт 3 см.

Ответ: u = 3 см/c

Таким образом, решение задач на линзы требует понимания основных определений и формул, связанных с тонкими линзами. Важно уметь правильно выбирать знаки величин и следить за единицами измерения. Решение задач на линзы не только позволяет лучше понять оптику, но и развивает навыки анализа, логического мышления и применения математических методов.