вентилятор
Хорошего настроения!

Сравнение дробей



В этой статье мы обсудим, как сравнивать дроби между собой.


Все числа - рациональные и иррациональные образуют множество действительных чисел.





Рациональные и иррациональные числа




Как сравнивать рациональные числа


Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель натуральным.

m n
m - целое число (0; ±1; ±2; ±3...и т.д.)
n - натуральное число (1; 2; 3; 4; 5 и т.д.)


Пример рациональных чисел:


1   1  3 9 4    ; . . .

Обыкновенные дроби


Сравним две дроби:


4 11 7 17

Применим технику "крест-накрест"


Сравнение обыкновенных дробей

Числитель одной дроби умножаем на знаменатель другой дроби. Так же делаем и для другого числителя и знаменателя.


4 17 < 7 11

Правое выражение больше, чем левое, значит, и дробь, где в числителе 7, так же больше.


4 11 < 7 17



В этом способе мы ориентируемся именно на числитель. Таким образом, мы можем сравнивать рациональные числа в виде обыкновенных дробей даже с разными знаменателями.



Десятичные дроби


В десятичной форме рациональные дробные числа представляют из себя либо конечную десятичную дробь, либо бесконечную периодическую.


Пример:


1 2 = 0 , 5
1 3 = 0 , 3333. . . = 0 , ( 3 )

В скобках указывается период дроби, т.е. те цифры, которые повторяются. На самом деле дробь 0,5 так же можно представить в виде периодической, т.к. справа можно подписать бесконечное количество нулей 0,5 = 0,5(0).


Сравним две дроби:


0 , 431 0 , 43

Чтобы сравнить рациональные числа в виде десятичных дробей, нужно выписать эти дроби друг под другом, чтобы целые были под целыми, десятые под десятыми и т.д.


0,431
0,430




Обычно справа доставляют нули у той дроби, которая более короткая, чтобы по количеству цифр эти два числа были одинаковыми.


Сравнение происходит слева направо. Как только мы нашли разные цифры, сравнение прекращается, бOльшой объявляется та дробь, где обнаружилась бOльшая цифра.


Сравнение десятичных дробей

Важно знать: Некоторые рациональные числа могут быть представлены в виде десятичной дроби не единственным способом.

Например:
1 2 = 0 , 5 = 0 , 4 ( 9 )
1 = 1 , ( 0 ) = 0 , ( 9 )

Докажем, что 0,5 = 0,4(9). Можно расписать:


0,5 = 0,4 + 0,09 + 0,009 + 0,0009...

Перед нами бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Найдём её сумму по известной формуле:


S = b 1 1 q = 0 , 09 1 1 10 = 0 , 1

Первый член прогрессии это b1=0,09. Знаменатель геометрической прогрессии q=0,1.


0,5 = 0,4 + 0,1




Докажем ещё одним способом. Пусть будет x наша искомая дробь 0,4(9).


x = 0,4(9)=0,49999... (1)

Умножим на 10 левую и правую часть, получается:


10x = 4,9999... (2)

Вычтем из (2) уравнения (1), тогда


9x = 4,5

x = 4,5 : 9 = 0,5





Таким образом, при сравнении рациональных чисел, когда имеем дело с десятичными дробями, мы не должны слепо следовать правилу сравнения разрядов, и нужно всегда иметь ввиду особенности изложенные выше.


Так же нельзя просто сравнивать разряды, когда имеем дело с отрицательным знаком.


Сравним дроби -0,21 и -0,2.


-0,21 < -0,20

Сравнение отрицательных десятичных дробей


Когда сравниваем две отрицательных дроби, наоборот, дробь будет больше, у которой цифра меньше в соответствующем разряде.





Как сравнивать иррациональные числа


Все числа, которые не являются рациональными называются иррациональными.


Иррациональные числа в виде десятичной дроби - это всегда бесконечная непериодическая дробь.


Примеры иррациональных чисел:


2 = 1 , 414213562373. . .
π = 3 , 141592653589. . .
e = 2 , 7182818284 59. . .

Когда иррациональные числа записаны в виде десятичных дробей, мы можем опять сравнивать поразрядно дроби, выписав их друг под другом, как это было описано выше.


Сравним дроби:


Сравнение десятичных дробей (иррациональные числа)


Удачи при работе с дробями! )))






17-09-2023 в 09:09:40





Поддержать сайт:


Похожая статья:

Математика - теория вероятности

Привет! Сегодня повторим основы теории вероятности школьного курса мат...

Категория: Математика  Подкатегория: -
Дата: 30-03-2023 в 13:28:54 0



Оставить коментарий:



Напишите email, чтобы получать сообщения о новых комментариях (необязательно):


Задача против робота. Расположите картинки горизонтально:




Нажимая кнопку Отправить, Вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности сайта.