Решение уравнений (метод дихотомии) на C#

Привет! Сегодня посмотрим, как решать уравнения методом дихотомии (методом половинного деления) на языке программирования C#.

Другие методы решения уравнений на компьютере можете посмотреть в этом разделе.

Пусть есть уравнение f(x)=0. Найдём приближенно корень этого уравнения на отрезке [a, b] с погрешностью ε. В данном диапазоне корень должен быть только один.

Значения f(a) и f(b) должны иметь разные знаки.

Функция f(x) должна быть непрерывной на интервале [a, b].

Мы точно знаем, что корень находится на отрезке [a, b]. Можем написать, что решение уравнения будет равно середине отрезка с=(a+b)/2 с погрешностью ε=(b-a)/2, где ε - половина отрезка. Т.е. x=c ± ε.

Напишем программу на C# для решения уравнения x²=2 методом дихотомии на отрезке [0, 2] с точностью ε=0.00000001.

Перенесём 2 (двойку) в левую часть уравнения, тогда получим f(x) = x² - 2 = 0.

Запрограммируем консольное приложение.

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace ConsoleApp13
{
    internal class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            double e = 0.00000001;
            
            double a = 0;
            double b = 2;

            double c = (a + b) / 2;

            while(b - a >= 2*e)
            {
                if((Math.Pow(a, 2) - 2) * (Math.Pow(c, 2) - 2) < 0)
                {
                    b = c;
                }
                else
                {
                    a = c;
                }

                c = (a + b) / 2;
            }

            Console.WriteLine("{0:0.00000000}", c);

        }
    }
}

Переменная e - это погрешность, с которой хотим вычислить корень уравнения. Переменные a, b - левая и правая граница отрезка, где ищем ответ. Переменная c - это середина отрезка [a, b].

Длина отрезка должна подходить под заданную точность ε=(b-a)/2 < e , т.е. b-a < 2*e. Тогда c и будет приближённым решением.

В том случае, когда вычисленное значение c оказалось далеко от корня в пределах желаемой точности e, уменьшаем отрезок поиска [a, b] в два раза и повторяем предыдущие действия.

В программе применяется цикл WHILE. Пока длина отрезка не удовлетворяет заданной точности, продолжаем уменьшать отрезок поиска.

Функция Math.Pow() используется для возведения в степень переменную типа double.

Метод дихотомии (методом половинного деления) является очень эффективным способом решения уравнений.

Через n повторений длина отрезка будет равна (b-a)/2ⁿ. Таким образом, мы можем точно вычислить через сколько итераций получим приближённый корень с заданной точностью.

В нашей программе метод дихотомии получил следующий результат.

На сегодня всё, удачи!