Математика - теория вероятности

Привет! Сегодня повторим основы теории вероятности школьного курса математики.

Порешаем задачи из ЕГЭ и ОГЭ по математике на теорию вероятности.

Пример 1: Подбросим монету. Вероятность того, что выпадет решка P = 1/2 = 0,5. Количество благоприятных исходов равно 1 (это сторона решка). Всего исходов в данной ситуации может быть два: либо орел, либо решка.

Пример 2: Пусть в мешке 3 синих фломастера и 2 красных. Вероятность того, что наугад вытащим синий фломастер, равна P = 3/5. Событию "вытащить синий фломастер", благоприятствуют 3 исхода. Всего исходов 5 (3 синих + 2 красных).

Пример 3: Пусть имеется колода, состоящая из 54 карт. Вероятность того, что мы случайным образом вытащим даму, равна P = 4/54 = 2/27. Событию "вытащить даму" благоприятствуют 4 исхода (всего 4 дамы в колоде). Всего исходов может быть 54, ведь мы в равной степени можем вытащить любую из 54 карт.

Вероятность какого-то события не может превышать 1. Если вероятность какого-то события равна 1, значит, это событие точно произойдёт.

Решим тренировочную задачу для подготовки к ОГЭ по математике.

Задача (Цветные карандаши)

В магазине продаются 120 цветных карандашей: 42 красных, 28 зелёных, 20 фиолетовых, остальные чёрные, синие и оранжевые, их поровну. Найдите вероятность того, что продавец случайно вытащит синий или фиолетовый карандаш.

Решение:

Найдём, сколько чёрных, синих, оранжевых карандашей. Т.к их поровну, обозначим их количество за x. Если суммировать все карандаши, получится 120. Составим уравнение:

42 + 28 + 20 + 3∙x = 120
3∙x = 30
x = 10

Благоприятный исход — это синий или фиолетовый карандаш. Всего синих и фиолетовых карандашей вместе 10 + 20 = 30.

Ответ: 0,25

Разберём ещё одну тренировочную задачу из ОГЭ по математике.

Задача (Бракованный чайник)

В среднем из 80 электрических чайников 3 бракованных. Определите вероятность того, что случайно выбранный чайник окажется исправным.

Решение:

Найдём количество благоприятных исходов для события "выбранный чайник оказался исправным". Сколько из 80 чайников исправных?

Кол. исправных чайников = 80 - 3 = 77

Теперь можно найти вероятность.

Ответ: 0,9625



Задача (Вероятность, что место свободно)

Вероятность того, что в кинотеатре выбранное наугад место окажется занятым, равна 0,22. Найдите вероятность того, что выбранное наугад место окажется свободным?

Решение:

Значит, можно найти вероятность того, что выбранное наугад место окажется свободным. P₁ — вероятность того, что выбранное наугад место занятно, P₂ — вероятность того, что выбранное наугад место свободно.

P₁ + P₂ = 1
P₂ = 1 - P₁ = 1 - 0,22 = 0,78
Ответ: 0,78



Задача (Игральная кость)

Шестигранную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков получилась больше или равна 9. Найдите вероятность события, когда при втором броске выпало 4 очка.

Решение:

Нас уже поставили перед фактом, что сумма очков за два броска получилась ⩾9. Распишем все комбинации, когда такая ситуация получается.

3 + 6 = 9
4 + 5 = 9
5 + 4 = 9
6 + 3 = 9

4 + 6 = 10
5 + 5 = 10
6 + 4 = 10

5 + 6 = 11
6 + 5 = 11

6 + 6 = 12

Всего получается 10 комбинаций. Нас интересуют те варианты, когда при втором броске будет 4. Всего нашлось два варианта (они обозначены зелёным цветом). Теперь можно действовать по формуле вероятности события.

Ответ: 0,2



Задача (Новый принтер)

Вероятность того, что новый принтер будет работать исправно больше года, равна 0,98. Вероятность того, что принтер будет работать исправно больше двух лет, равна 0,86. Найдите вероятность того, что новый принтер будет работать больше года, но не более 2-x лет.

Решение:

Пусть будет всего n исходов.

Чтобы ответить на вопрос, нужно найти, сколько исходов будет благоприятствовать событию "принтер проработал больше года, но сломался в течении 2-ого года".

После 1-ого года останется 0,98∙n исходов, благоприятствующих событию "принтер проработал исправно больше года".

После 2-ого года останется 0,86∙n исходов, благоприятствующих событию "принтер проработал исправно больше 2-x лет". Так мы можем вычислить количество исходов, которые стали благоприятствовать событию "принтер проработал больше года, но сломался в течении 2-ого года".

Получается:

0,98∙n - 0,86∙n = 0,12∙n

0,12∙n — это количество исходов, благоприятствующих событию "принтер проработал больше года, но сломался в течении 2-ого года" (т.е. принтер проработает больше года, но не более 2-x лет). Всего исходов n.

Ответ: 0,12



Задача (Контрольное взвешивание)

На ферме картофель расфасовывают в мешки. Для каждого получившегося мешка производят контрольное взвешивание. Известно, что вероятность того, что масса мешка окажется больше 30 кг, равна 0,95. Вероятность того, что масса окажется меньше 50 кг, равна 0,98. Найдите вероятность того, что масса мешка с картофелем больше, чем 30 кг, но меньше, чем 50 кг.

Решение:

Пусть будет всего n исходов.

Количество исходов, которые соответствуют событию, что масса мешка окажется ⩽ 30 кг, равно 0,05∙n.

Количество исходов, которые соответствуют событию, что масса мешка окажется ⩾ 50 кг, равно 0,02∙n.

Получается количество исходов, которое соответствует событию, что масса мешка окажется в диапазоне (30; 50), равно 0,93∙n.

Вероятность такого события, что масса мешка будет больше, чем 30 кг, но меньше, чем 50 кг, равна:

Ответ: 0,93





Задача (Круглый стол)

За круглый стол на 17 стульев в произвольном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.

Решение:

Пусть первая девочка выберет произвольное место.

Найдём вероятность того, что вторая девочка сядет на соседние места. Всего таких два места (слева и справа). Всего свободных мест, куда может сесть вторая девочка, 17-1=16.

Ответ: 0,125



Задача (Решаем через x)

В мешке вперемешку лежат зелёные и синие шарики. Зеленых шариков в 4 раза меньше, чем синих. Найдите вероятность того, что случайно выбранный шарик окажется синим.

Решение:

Обозначим за x количество зелёных шариков. Тогда количество синих шариков будет 4∙x.

Количество благоприятных исходов для события "вытащить синий шарик" будет 4∙x, всего исходов будет x + 4∙x = 5∙x.

Ответ: 0,8



Задача (Шахматный турнир)

В шахматном турнире участников разбивают на пары случайным образом. Всего в турнире участвует 41 человек, среди которых 22 москвича. Найдите вероятность того, что в первом туре шахматист из Москвы Василий В. будет играть так же с москвичом.

Решение:

После того, как москвич Василий В. займёт место за шахматной доской, жребий может подобрать ему соперника из Москвы 21-им способом. Это благоприятные исходы для события, что Василий В. в первом туре будет играть с москвичом. Всего вариантов подобрать соперника для Василия В. 40 (41-1).

Василий В. входит в группу шахматистов из Москвы, и в группу всех участников турнира.

Ответ: 0,525



Задача (Частота события)

Вероятность того, что новый ноутбук сломается в течении года, равна 0,096. В некоторой партии из 1000 проданных ноутбуков в течении года вышло из строя 102 ноутбука. На сколько отличается частота события "поломка ноутбука" от его вероятности в этой партии.

Решение:

Т.е. частота события показывает уже свершившийся факт, в отличии от вероятности. Вероятность же показывает количество благоприятных исходов для данного события.

Частота события "поломка ноутбука" равна:

Найдём на сколько частота события "поломки ноутбука" отличается от его вероятности в данной партии:

P^* - P = 0,102 - 0,096 = 0,006
Ответ: 0,006



Задача (Три попытки)

Три раза подряд подбрасывают монету. Найдите вероятность того, что ровно 2 раза случайным образом выпадет решка.

Решение:

Обозначим за 1 - решку, за 0 - орел. После 3-x подбрасываний распишем все возможные варианты:

1. 000
2. 001
3. 010
4. 011
5. 100
6. 101
7. 110
8. 111

Это просто счёт в двоичной системе. Всего получается 8 вариантов. Все варианты могут получится с равной вероятностью. Варианты, которые благоприятствуют событию "выпадет ровно две решки за 3 попытки", равно 3.

Ответ: 0,375



Задача (Два независимых события)

Два рыбака независимо друг от друга едут рыбачить на озеро. Вероятность, что первый рыбак поймает рыбу равна 0,2. Вероятность, что второй рыбак поймает рыбу равна 0,3. Считая, что улов одного рыбака никак не зависит от улова другого рыбака, определите вероятность того, что оба рыбака поймают рыбу.

Решение:

Пусть A — событие, когда поймал рыбу первый рыбак. Пусть B — событие, когда поймал рыбу второй рыбак. Тогда A∙B — событие, когда рыбу поймают оба рыбака независимо друг от друга. Когда события никак не зависят друг от друга, действует формула:

Вычислим ответ к задаче:

P(A∙B) = P(A)∙P(B) = 0,2 ∙ 0,3 = 0,06
Ответ: 0,06



Задача (Игральный кубик, крепкий орешек)

Игральный кубик бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила 4. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска?

Решение:

Первый способ.

Пусть всего было n исходов.

Красным цветом отмечены варианты, которые не подходят. При первом броске новых вариантов не порождают числа "5" и "6", т.к. сумма очков уже превысила 4, и кубик перестают бросать.

Зелёным цветом отмечены варианты, которые дают на втором броске сумму очков больше 4. Для каждого варианта показано, сколько исходов будут благоприятствовать событию, что сумма очков будет больше 4 за два броска.

Осталось только воспользоваться формулой вероятности события.

Ответ будет 0,5.

Второй способ.

Нужно найти вероятность события, когда за два броска сумма очков игрального кубика превысит 4.

Рассмотрим те случаи, когда сумма очков за два броска окажется больше 4.

Найдём вероятность выпадания каждой вышеуказанной суммы. Рассмотрим первую сумму. Вероятность того, что выпадёт "1", P(A) = 1/6. Вероятность того, что выпадет "4" тоже P(B) = 1/6. Вероятность P(A∙B) того, что выпадет в начале "1", а потом "4":

Аналогичные рассуждения проводим для остальных сумм. Получается, что вероятность каждой суммы будет P(A∙B) = 1/36

Выпадение данных сумм — это несовместные события.

Т.к. всего сумм 18, то вероятность события "получить сумму очков больше 4-x за два броска" равна:

Ответ: 0,5



Задача (Последние три цифры одинаковые)

Найдите вероятность того, что последние три цифры в телефонном номере одинаковые.

Решение:

Пусть последней цифрой телефонного номера будет какая-то случайная цифра x. Узнаем вероятность того, что предпоследняя цифра тоже будет равна x. Она равна P₁ = 1/10 (всего у нас 10 цифр). Вероятность того, что третья с конца цифра равна x, тоже P₂ = 1/10. Т.к. эти два события независимые друг от друга, можно узнать вероятность события, когда и вторая цифра с конца, и третья цифра с конца будут равны цифре x одновременно.

Ответ: 0,01



Задача (В последних трёх цифрах хотя бы 2 одинаковые)

Найдите вероятность того, что в последних трёх цифрах телефонного номера хотя бы две цифры совпадают.

Решение:

Найдём, сколько вариантов будет, если в последних трёх цифрах телефонного номера будет ровно два нуля.

Получается 3 варианта разместить в трех ячейках два нуля. В каждой пустой ячейке могут быть цифры от 1 до 9. Тогда:

3 ∙ 9 = 27

Плюс, добавим тот случай, когда во всех ячейках получается три нуля. Значит, ноль нам дал 28 вариантов, когда в последних трёх цифрах телефонного номера есть хотя бы два нуля.

Аналогично рассуждаем и для остальных 9 цифр. Всего получается 280 вариантов, когда в последних трёх цифрах телефонного номера хотя бы две цифры совпадают.

Всего вариантов для последних трёх цифр 1000 (от 000 до 999).

Ответ: 0,28



Задача (Хоккейный турнир)

Хоккейной команде нужно набрать хотя бы 9 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 7 очков, в случае ничьей — 2 очка, в случае проигрыша — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся набрать 9 или больше очков за две игры. Вероятность проигрыша и выигрыша равна 0,3.

Решение:

Событие	Кол-во очков	Вероятность
Выигрыш	7	0,3
Ничья	2	0,4
Проигрыш	0	0,3

В сумме вероятность трёх вышеуказанных событий равна 1.

1 игра	2 игра	Кол-во очков	Вероятность набрать данное кол-во очков
Выигрыш	Выигрыш	7 + 7 = 14	0,3 ∙ 0,3 = 0,09
Ничья	Выигрыш	2 + 7 = 9	0,4 ∙ 0,3 = 0,12
Выигрыш	Ничья	7 + 2 = 9	0,3 ∙ 0,4 = 0,12

Все вышеперечисленные события для 2-x игр являются несовместными. Чтобы найти вероятность того, что команда за две игры наберёт 9 очков или больше, нужно сложить все вероятности каждого варианта, представленного во второй таблице.

P = P₁ + P₂ + P₃
P = 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33
Ответ: 0,33



Задача (Автоматы с газировкой)

В кафе два одинаковых автомата продают газировку. Вероятность того, что в конце дня в автомате закончится газировка 0,3. Вероятность того, что газировка закончится в обоих автоматах, равна 0,1. Найдите вероятность того, что к концу дня газировка останется в обоих автоматах.

Решение:

Здесь видно, что события зависимые друг от друга, т.к. произведение вероятностей, что закончится газировка в каждом автомате, не равно вероятности, что закончится газировка в обоих автоматах одновременно.

0,3 ∙ 0,3 ≠ 0,1

Нарисуем круги Эйлера. Пусть первый круг — это вероятность того, что в первом автомате останется газировка в конце дня (1 - 0,3 = 0,7). Второй круг — вероятность того, что во втором автомате останется газировка в конце дня (1 - 0,3 = 0,7).

Событие, обратное тому, что в обоих автоматах не осталось газировки, будет: хотя бы в одном автомате осталась газировка. Вероятность такого события равна 1 - 0,1 = 0,9. Эта вероятность обозначена фиолетовым цветом.

Нам нужно найти общую часть двух кругов. Она как раз характеризует вероятность того, что в конце дня в обоих автоматах останется газировка.

Найдём заштрихованную область. Из фиолетовой области вычтем красный круг. Получается 0,9 - 0,7 = 0,2.

Чтобы найти искомую часть, из синего круга вычтем заштрихованную область. Получается 0,7 - 0,2 = 0,5.

Ответ: 0,5



Задача (Два стрелка)

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком 0,6, а вторым — 0,5. Считая, что попадание в мишень каждого из стрелков является независимым событием, определите вероятность попадания в мишень хотя бы одним стрелком.

Решение:

Снова воспользуемся кругами Эйлера.

Вероятность попадания хотя бы одним стрелком в мишень — это объединение двух кругов. Общая часть двух кругов — это вероятность события, когда обы стрелка попали в мишень. Мы эту вероятность можем вычислить по формуле умножения, т.к. события не зависимые друг от друга.

P_общ. = P₁ ∙ P₂
P_общ. = 0,6 ∙ 0,5 = 0,3

Найдём заштрихованную часть. Из синего круга нужно отнять "середину". Получается 0,5 - 0,3 = 0,2.

Чтобы найти фиолетовую фигуру, нужно к красному кругу прибавить заштрихованную часть. Получается 0,2 + 0,6 = 0,8. Это и будет ответ.

Ответ: 0,8



Задача (Игральный кубик, крепкий орешек 2)

Игральный кубик бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.

Решение:

В начале неизвестно, сколько было бросков кубика. Может 1, может 2, может 3 и т.д.

Пусть будет всего n₁ исходов.

Например, из n₁ исходов, мы получим n₁∙(1/6) исходов, благоприятствующих некоторому конкретному числу "5" при одном броске. Или мы получим n₁∙(1/36) исходов, благоприятствующих некоторой конкретной комбинации "12" при двух бросках. И т.д.

После этого нам сказали, что выпало 3 очка. Из-за этого условия у нас появилось новое множество всех элементарных исходов. При одном броске нам подходит "3". При двух бросках, на подходят комбинации "12" и "21". При трёх бросках подходит только комбинация "111". Найдём количество всех новых элементарных исходов n₂, которые удовлетворяют событию "сумма очков равна 3".

Найдём вероятность, что при этом событии было именно два броска:

Ответ: 0,24



Задача (Стрелок и мишень)

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадет в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько раз стрелок должен выстрелить по мишени, чтобы поразить её с вероятностью не менее 0,4?

Решение:

Пусть n — количество всех исходов при поражении мишени стрелком с вероятностью ≥0,4.

Тогда m — количество благоприятных исходов поразить мишень за все попытки.

Нужное количество благоприятных исходов набирается за 3 выстрела.

m = 0,2∙n + 0,8∙n∙0,2 + 0,8∙n∙0,8∙0,2

m = 0,488∙n

Ответ: 3



Задача (Стрелок и пять мишеней)

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов. Известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,5. Найдите отношение вероятностей событий "стрелок поразит ровно пять мишеней" и "стрелок поразит ровно три мишени".

Решение:

Рассмотрим одну мишень. Найдём вероятность поразить мишень за 1 или 2 выстрела.

Найдём вероятность того, что все 5 мишеней будут поражены.

Поражение любой мишени — это независимое событие.

P(5) = (0,75)⁵

Найдём вероятность того, что будут поражены ровно три мишени одним способом. Три мишени должны быть поражены, а две нет, одновременно.

P*(3) = (0,75)³∙(0,25)²

Вероятность того, что мишень не будет поражена 0,25.

Найдём сколькими способами стрелок может поразить ровно три мишени.

и т.д.

Воспользуемся формулой сочетаний из комбинаторики.

Значит, поразить ровно три мишени различными способами можно с вероятностью:

P(3) = 10 ∙ P*(3) = 10 ∙ (0,75)³∙(0,25)²

Ответ: 0,9