вентилятор
Удачи на экзаменах!

Математика - иррациональные уравнения (уравнения с радикалами)



Иррациональные уравнения - это уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком корня или возведёно в степень, которую нельзя свести к целому числу. Такие уравнения могут возникать в самых разных задачах, начиная от геометрии и заканчивая физикой и экономикой. Решение иррациональных уравнений является важной задачей в математике, и требует от математика особых навыков и знаний. В этой статье мы познакомимся с основными методами решения иррациональных уравнений и рассмотрим несколько примеров решения таких уравнений.


Иррациональные уравнения иногда называют уравнениями с радикалами.





Если у нас есть выражение вида f ( x ) , то оно определено только f ( x ) 0 .


Приведём схему для освобождения от квадратного корня в уравнении.


Схема избавления от квадратного корня в уравнении

Задача (Стандартная)

Решите уравнение

x + 9 = x 3 Решение:

Воспользуемся схемой решения:


x + 9 = x 3 { x + 9 = ( x 3 ) 2 x 3 0

Первое уравнение имеет корни 0 и 7.


x + 9 = x 2 6 x + 9
x 2 7 x = 0
x ( x 7 ) = 0
x 1 = 0 ; x 2 = 7

Учитывая второе неравенство, получаем, что ответ будет равен 7. Ноль не является ответом к первоначальному уравнению.


Ответ: 7



Задача (Решаем без схемы, проверяем ОДЗ)

Решите уравнение


x 2 7 x + 6 ( 3 x 2 8 x + 5 ) = 0 Решение:

Здесь уже мы не можем решать по вышеуказанной схеме. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).


Выражение под корнем должно быть больше или равно нуля.


x 2 7 x + 6 0


Решим неравенство методом интервалов.

( x 1 ) ( x 6 ) 0
Метод интервалов

x ϵ ( - ; 1 ] [ 6 ; + )

Левое выражение обращает изначальное уравнение в верное равенство при x1 = 1 и x2 = 6.


Узнаем, когда правое выражение превращается в ноль. Решим уравнение


3 x 2 8 x + 5 = 0

В этом квадратном уравнении получаются ответы x1 = 1 и x2 = 5 3 . Дробь 5 3 не подходит по ОДЗ.


Ответ: x1 = 1 и x2 = 6



Ещё одна схема


Схема 2 избавления от корней в уравнении

Задача (Используем вторую схему)

Решите уравнение


x 2 8 = 2 x Решение:

Применим вторую схема для избавления от радикалов:


x 2 8 = 2 x { x 2 8 = 2 x 2 x 0

Неравенство даёт ограничение:


x < 0

Квадратное уравнение даёт корни x1=-4 и x2=2. Число 2 не подходит под ограничение.


Ответ иррационального уравнения будет -4.


Ответ: -4



Задача (Крепкий орешек)

Решите уравнение


4 x 2 20 x + 1 + 5 x = x 2 1 Решение:

Если решать классическим способом, то получим уравнение с четвёртой степенью, которое потом будет не так просто решить. Преобразуем


4 ( x 2 5 x ) + 1 = x 2 5 x 1

На ранней стадии нужно заметить, что можно сделать замену y = x2 - 5x, тогда


4 y + 1 = y 1

Уравнение свелось к стандартному, которое можно решить по схеме.


4 y + 1 = y 1 { 4 y + 1 = ( y 1 ) 2 y 1 0

Решим первое уравнение


y 2 2 y + 1 4 y 1 = 0
y 2 6 y = 0
y 1 = 0 ; y 2 = 6

Ноль не подходит по второму неравенству. Вернёмся к x.


x 2 5 x = 6
x 2 5 x 6 = 0
x 1 = -1 ; x 2 = 6
Ответ: -1; 6



Задача (Крепкий орешек 2)

Решите уравнение


2 x 6 + x + 4 = 5 Решение:

Возведём левую и правую часть уравнения в квадрат. Если получим корни, потом проверим, подходят ли они по ОДЗ и сделаем проверку на верное равенство.


2 x 6 + 2 2 x 2 + 8 x 6 x 24 + x + 4 = 25
2 2 x 2 + 2 x 24 = 27 3 x

Вновь возведём левую и правую часть в квадрат.


8 x 2 + 8 x 96 = 729 162 x + 9 x 2
x 2 170 x + 825 = 0
x 1 = 5 ; x 2 = 165

Подставим полученные значения в первоначальное уравнение. Подходит число 5. Число 165 не является корнем первоначального решения и не пойдёт в ответ.


При решении данным способом, могут появляться лишние корни, важно проверить их в исходном уравнении.


Ответ: 5

В заключение, иррациональные уравнения являются важным элементом математики и науки в целом, и они находят широкое применение в различных областях, включая физику, инженерию, экономику и многие другие. Решение иррациональных уравнений может быть сложным и требует тщательного анализа, но оно может привести к важным открытиям и решениям проблем в различных областях. Если вы заинтересованы в изучении математики и иррациональных уравнений, то существует множество ресурсов и книг, которые помогут вам расширить свои знания и навыки в этой области.



03-05-2023 в 11:25:04






Поддержать сайт:


Похожая статья:

Математика - показательные уравнения (основы)

В этой статье посмотрим основы решения показательных уравнений....

Категория: Математика  Подкатегория: Уравнения
Дата: 01-05-2023 в 14:15:39 0



Оставить коментарий:



Напишите email, чтобы получать сообщения о новых комментариях (необязательно):


Задача против робота. Расположите картинки горизонтально:




Нажимая кнопку Отправить, Вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности сайта.