Математика - иррациональные уравнения (уравнения с радикалами)

Иррациональные уравнения - это уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком корня или возведёно в степень, которую нельзя свести к целому числу. Такие уравнения могут возникать в самых разных задачах, начиная от геометрии и заканчивая физикой и экономикой. Решение иррациональных уравнений является важной задачей в математике, и требует от математика особых навыков и знаний. В этой статье мы познакомимся с основными методами решения иррациональных уравнений и рассмотрим несколько примеров решения таких уравнений.

Иррациональные уравнения иногда называют уравнениями с радикалами.

Если у нас есть выражение вида $\sqrt{f(x)}$ , то оно определено только $f(x)\ge 0$.

Приведём схему для освобождения от квадратного корня в уравнении.

Задача (Стандартная)

Решите уравнение

$$\sqrt{x+9}=x-3$$ Решение:

Воспользуемся схемой решения:

$$\sqrt{x+9}=x-3\iff \{\begin{array}{l}x+9=(x-3{)}^2\\ x-3\ge 0\end{array}$$

Первое уравнение имеет корни 0 и 7.

$$x+9=x^2-6x+9$$
$$x^2-7x=0$$
$$x(x-7)=0$$
$$x_1=\mathrm{0\; ;}{x}_2=7$$

Учитывая второе неравенство, получаем, что ответ будет равен 7. Ноль не является ответом к первоначальному уравнению.

Ответ: 7



Задача (Решаем без схемы, проверяем ОДЗ)

Решите уравнение

$$\sqrt{x^2-7x+6}\cdot (3x^2-8x+5)=0$$ Решение:

Здесь уже мы не можем решать по вышеуказанной схеме. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под корнем должно быть больше или равно нуля.

$$x^2-7x+6\ge 0$$

Решим неравенство методом интервалов.

$$(x-1)(x-6)\ge 0$$

Левое выражение обращает изначальное уравнение в верное равенство при x₁ = 1 и x₂ = 6.

Узнаем, когда правое выражение превращается в ноль. Решим уравнение

$$3x^2-8x+5=0$$

В этом квадратном уравнении получаются ответы x₁ = 1 и x₂ = $\frac{5}{3}$. Дробь $\frac{5}{3}$ не подходит по ОДЗ.

Ответ: x₁ = 1 и x₂ = 6

Ещё одна схема

Задача (Используем вторую схему)

Решите уравнение

$$\sqrt{x^2-8}=\sqrt{-2x}$$ Решение:

Применим вторую схема для избавления от радикалов:

$$\sqrt{x^2-8}=\sqrt{-2x}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-8=-2x\\ -2x\ge 0\end{array}$$

Неравенство даёт ограничение:

Квадратное уравнение даёт корни x₁=-4 и x₂=2. Число 2 не подходит под ограничение.

Ответ иррационального уравнения будет -4.

Ответ: -4



Задача (Крепкий орешек)

Решите уравнение

$$\sqrt{4x^2-20x+1}+5x=x^2-1$$ Решение:

Если решать классическим способом, то получим уравнение с четвёртой степенью, которое потом будет не так просто решить. Преобразуем

$$\sqrt{4(x^2-5x)+1}=x^2-5x-1$$

На ранней стадии нужно заметить, что можно сделать замену y = x² - 5x, тогда

$$\sqrt{4y+1}=y-1$$

Уравнение свелось к стандартному, которое можно решить по схеме.

$$\sqrt{4y+1}=y-1\iff \{\begin{array}{l}4y+1=(y-1{)}^2\\ y-1\ge 0\end{array}$$

Решим первое уравнение

$$y^2-2y+1-4y-1=0$$
$$y^2-6y=0$$
$$y_1=0;y_2=6$$

Ноль не подходит по второму неравенству. Вернёмся к x.

$$x^2-5x=6$$
$$x^2-5x-6=0$$
$$x_1=-1;x_2=6$$
Ответ: -1; 6



Задача (Крепкий орешек 2)

Решите уравнение

$$\sqrt{2x-6}+\sqrt{x+4}=5$$ Решение:

Возведём левую и правую часть уравнения в квадрат. Если получим корни, потом проверим, подходят ли они по ОДЗ и сделаем проверку на верное равенство.

$$2x-6+2\sqrt{2x^2+8x-6x-24}+x+4=25$$
$$2\sqrt{2x^2+2x-24}=27-3x$$

Вновь возведём левую и правую часть в квадрат.

$$8x^2+8x-96=729-162x+9x^2$$
$$x^2-170x+825=0$$
$$x_1=5;x_2=165$$

Подставим полученные значения в первоначальное уравнение. Подходит число 5. Число 165 не является корнем первоначального решения и не пойдёт в ответ.

При решении данным способом, могут появляться лишние корни, важно проверить их в исходном уравнении.

Ответ: 5

В заключение, иррациональные уравнения являются важным элементом математики и науки в целом, и они находят широкое применение в различных областях, включая физику, инженерию, экономику и многие другие. Решение иррациональных уравнений может быть сложным и требует тщательного анализа, но оно может привести к важным открытиям и решениям проблем в различных областях. Если вы заинтересованы в изучении математики и иррациональных уравнений, то существует множество ресурсов и книг, которые помогут вам расширить свои знания и навыки в этой области.