Главная Посты Курсы Связь О сайте

ЕГЭ по информатике 2022 - Задание 14 (Чемпионская подготовка)



Мы подошли к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2022. Оно связано с различными системами счисления. Что такое различные системы счисления, мы рассматривали в этой статье. Так же будет полезно посмотреть эту статью.


Переходим к первому тренировочному 14-ому заданию из ЕГЭ по информатике. Раньше это задание было под номером 16.



Задача (ЕГЭ по информатике, 2019, Москва)

Значение выражения 536 + 524 - 25 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр "4" содержится в этой записи?


Решение:

Первый способ. (С помощью Питона)

f = 5**36 + 5**24 - 25

s=''

while f>0:
    s = s + str(f%5)
    f = f // 5

print(s.count('4'))




В переменную f записываем функцию. Две звёздочки подряд обозначают возведение в степень. Заводим строчку s, где и будет сформировано число в пятеричной системе.


Сам перевод числа f в пятеричную систему происходит в цикле WHILE.


Записываем остатки от деления на 5 в строку s. Делаем так же, как если бы переводили в ручную. И так же производим само целочисленное деление. Это мы тоже делаем, когда переводим на листке бумаги.


В строке s получается число в пятеричной системе, но в цифры в этой записи стоят в обратном порядке. Ведь, когда мы переводим в ручную, остатки должны записать задом наперёд.


Здесь и не важен порядок цифр, важно количество четвёрок!


С помощью функции count находим количество четвёрок в строке s.


В ответе напишем 4.


Второй способ. (Классический)

Сформулируем главное правило, на которое будем опираться при решении подобного типа задач.


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (основное правило)




Примеры:
54 (в десятичной системе) - это 100005 (в пятеричной системе)
72 (в десятичной системе) - это 1007 (в семеричной системе)
29 (в десятичной системе) - это 10000000002 (в двоичной системе)

Перепишем наше выражение, чтобы все числа были в виде степени представлены.


536 + 524 - 52

Посчитаем 536 + 524 в пятеричной системе столбиком, используя основное правило.


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (суммируем столбиком в пятеричной системе)

Здесь всё просто: ноль прибавить ноль, будет ноль. Единица плюс ноль, будет один.


Теперь от получившегося числа нужно отнять 52 (1005).


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (вычитаем столбиком в пятеричной системе)




Первые два разряда посчитать легко. Ноль минус ноль, будет ноль.


Третий разряд: из нуля отнять единицу мы не можем, поэтому занимаем у более старших разрядов.


В более старших разрядах тоже нули, поэтому идём до единицы, у которой можно занять. Получается 22 четвёрки.


Вот как было бы, если бы считали в нашей родной десятичной системе счисления в аналогичной ситуации.


Здесь мы считаем в десятичной системе, поэтому получаются девятки. В нашей задаче считали в пятеричной системе, поэтому получаются четвёрки.


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (вычитаем столбиком в десятичной системе)

В ответе напишем 22 четвёрки.


Ответ: 22



Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)

Значение выражения 168 × 420 - 45 - 64 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр "3" содержится в этой записи?


Решение:

Первый способ. (С помощью Питона)

f = 16**8 * 4**20 - 4**5 - 64

s=''

while f>0:
    s = s + str(f%4)
    f = f // 4

print(s.count('3'))


Второй способ. (Классический)

Преобразуем наше выражение. Приведём всё к 4-ам.


168 × 420 - 45 - 64 =
= (42)8 × 420 - 45 - 43 =
= 416 × 420 - 45 - 43 =
= 436 - 45 - 43

Здесь не можем применить технику устного счёта, потому что стоят два минуса. Значит, будем решать с помощью столбиков.


Сначала посчитаем 436 - 45.


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (решение 2020 Москва)

Теперь от этого числа нужно отнять 43 (10004)


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (решение 2020 Москва 2)




Получается 32 тройки.


В последнем вычислении нет ничего сложно. В десятичной системе вы бы легко вычислили в аналогичной ситуации.


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (решение 2020 Москва 2 десятичная система)


Ответ: 32



Задача (Тренировочная)

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры.


Решение:

1) Переведём число 17 в троичную систему.


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (переводим в троичную систему)

Получилось 1223.


2) Теперь выпишем все числа, которые не превосходят 1223 (Т.е. 1223 тоже подходит!), запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры. В троичной системе могут применяться цифры 0, 1, 2.


1223
1223
1113
1003
223
113

Теперь переведём эти числа в десятичную систему.


1223 = 2 × 30 + 2 × 31 + 1 × 32 = 1710
1113 = 1 × 30 + 1 × 31 + 1 × 32 = 1310
1003 = 0 × 30 + 0 × 31 + 1 × 32 = 910
223 = 2 × 30 + 2 × 31 = 810
113 = 1 × 30 + 1 × 31 = 410

Ответ: 4, 8, 9, 13, 17



Ещё один интересный тип задания номер 14, который вполне может быть на реальном ЕГЭ по информатике 2022.


Задача (Уравнение)

Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.


Решение:

Переведём каждое из чисел 225x и 405y в десятичную систему счисления и приравняем, т.к. эти числа равны.


5 × x0 + 2 × x1 + 2 × x2 = 5 × y0 + 0 × y1 + 4 × y2

Любое число в нулевой степени - это 1. Значит, 5 × x0 = 5 × y0 = 5. Эти два выражения равны одному и тому же значению, следовательно, их можно убрать и слева, и справа.


2x + 2x2 = 4y2
x + x2 = 2y2
x(1 + x) = 2y2

Получили уравнение в целых числах. Слева умножение двух последовательных чисел. Нужно начать подбирать целые числа.



При y = 6 :

x (1 + x) = 2 × 62 = 72 ; Произведение двух последовательных чисел 8 * 9 = 72. Значит, x = 8.



Мы начали проверку с числа 6, потому что у нас в уравнении присутствуют цифра 5. Значит, система счисления может быть минимум с основанием 6.


Получается, что наименьшее значение x равно 8.


В подобных задач нужно знать, что числа обязательно найдутся, нужно их просто хорошо поискать.


Ответ: 8

Для качественной проработки 14 задания из ЕГЭ по информатике 2022 разберём ещё некоторые задачи.




Задача (Основание системы)

Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?


Решение:

В этой задаче применим формулу:


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (Формула)

Примером для данной формулы можно взять два разряда в двоичной системе. Максимальное число в двоичной системе равно 112. А в десятичной системе это число равно 310. Т.е. 22 - 1.


338 число будет точно больше, чем двухзначное число с основанием N.


Получается неравенство:


338 > N2 - 1
N2 < 339

N - положительное целое число. Тогда:


N < √339 ≈ 18
N ≤ 18

Сказано, что число в системе с основанием N оканчивается на 2. Поэтому первый остаток должен быть равен 2!


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (Число оканчивается на 2)

Будем идти вниз от числа 18 и проверять, на что делится 336.


Число 336 должно делится на N.


Подошло число 16 (16 * 21 = 336!)


Ответ: 16



Продолжаем подготовку к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2022


Задача (На понимание)

Запись числа в девятеричной системе счисления заканчивается цифрой 4. Какой будет последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления?


Решение:

Подберём такие числа в десятичной системе, которые в остатке при первом делении на 9 дадут 4!


Посмотрим, какой остаток будет при делении этого же числа на 3 при первом делении. Получается 1. Это и будет ответ.


ЕГЭ по информатике 2022 - задание 14 (Последняя цифра в троичной системе)
Ответ: 1


Задача (Закрепление материала)

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.


Решение:

Нужно перебрать все числа от 3 до 23 и определить, какие из них при делении числа 23 дадут остаток 2.


23 : 3 = 7 (ост. 2) +
23 : 4 = 5 (ост. 3) -
23 : 5 = 4 (ост. 3) -
23 : 6 = 3 (ост. 5) -
23 : 7 = 3 (ост. 2) +
23 : 8 = 2 (ост. 7) -
23 : 9 = 2 (ост. 5) -
23 : 10 = 2 (ост. 3) -
23 : 11 = 2 (ост. 1) -
23 : 12 = 1 (ост. 11) -
23 : 13 = 1 (ост. 10) -
23 : 14 = 1 (ост. 9) -
23 : 15 = 1 (ост. 8) -
23 : 16 = 1 (ост. 7) -
23 : 17 = 1 (ост. 6) -
23 : 18 = 1 (ост. 5) -
23 : 19 = 1 (ост. 4) -
23 : 20 = 1 (ост. 3) -
23 : 21 = 1 (ост. 2) +
23 : 22 = 1 (ост. 1) -
23 : 23 = 1 (ост. 0) -

Подходят числа 3, 7, 21.


Здесь можно и написать программу:


for i in range(3, 24):
    if 23%i==2:
        print(i)

Ответ: 3, 7, 21



Задача (Добьём 14 задание из ЕГЭ по информатике 2022)

В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.


Решение:

Нужно найти такое число, чтобы числа 66 и 40 при делении на это число давали остаток 1.


Т.е. искомое число должно быть делителем чисел 65 (66-1) и 39 (40-1). У числа 39 не так много делителей: 1, 3, 13, 39


Видим, что число 65 делится на 13 (65 : 13 = 5). Поэтому искомое число равно 13.


Ответ: 13


Задача (Для чемпионов!)

В какой системе счисления выполняется равенство 12 · 13 = 222?
В ответе укажите число – основание системы счисления.


Решение:

Если бы мы находились в десятичной системе, то последней цифрой была бы 6 (2 * 3). Но у нас 2! Т.е. Система счисления меньше или равна 6, т.к. если бы система счисления была больше 6, то у нас была бы 6 последняя цифра.


Шестёрка не "поместилась" в младший разряд, от неё осталось только 2. Остальные 4 единицы ушли в более старший разряд. Если 4 единицы составляют единицу более старшего разряда, то значит, мы находимся в четверичной системе.


Ответ: 4



Задача (Новый тип, Статград окт 2022)

В выражении 1xBAD16 + 2CxFE16 x обозначает некоторую цифру из алфавита шестнадцатеричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного выражения кратно 15. Для найденного x вычислите частное от деления данного выражения на 15 и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.


Решение:

Здесь дана сумма чисел, которые написаны в шестнадцатеричной системе счисления.


Мы будем перебирать каждую цифру из шестнадцатеричной системы (0-15) с помощью цикла. Нас будут интересовать те значения x, при котором сумма этих чисел будет делится на 15.


for x in range(0, 16):
    a=13*16**0 + 10*16**1 + 11*16**2 + x*16**3 + 1*16**4
    b=14*16**0 + 15*16**1 + x*16**2 + 12*16**3 + 2*16**4
    if (a+b)%15==0:
        print(x, (a+b)//15)

Чтобы проверить, делится ли данное выражение на 15, переводим оба слагаемых в нашу родную десятичную систему. Переводим стандартным образом, об этом можно прочитать здесь.


В задаче нужно написать для наименьшего найденного значения x результат от деления данной суммы на 15.


Получается 18341


Ответ: 18341

Задача(Новый тип, закрепление)

(Богданов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17:


9759x17 + 3x10817

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 17-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратного 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.


Решение:

Решим задание с помощью предыдущего шаблона на языке Python.


for x in range(0, 17):
    a=x*17**0 + 9*17**1 + 5*17**2 + 7*17**3 + 9*17**4
    b=8*17**0 + 0*17**1 + 1*17**2 + x*17**3 + 3*17**4
    if (a+b)%11==0:
        print(x, (a+b)//11)

Ответ: 95306

Задача (Новый тип, две переменные)

(В. Шубинкин) Числа M и N записаны в системах счисления с основаниями 15 и 13 соответственно.

M = 2y23x515, N = 67x9y13

В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите наименьшее значение натурального числа A, при котором существуют такие x, y, что M + A кратно N.


Решение:

Принцип решения данной задачи похож на решение 15 задания из ЕГЭ по информатике.



for A in range(1, 5000):
    for x in range(0, 13):
        for y in range(0, 13):   
            M=5*15**0 + x*15**1 + 3*15**2 + 2*15**3 + y*15**4 + 2*15**5
            N=y*13**0 + 9*13**1 + x*13**2 + 7*13**3 + 6*13**4
            if (M+A)%N==0:
                print(A)

Нужно найти A, значит, начинаем перебирать A. Идём от 1, т.к. речь идёт о натуральных числах. Перебираем x и y. Они могут принимать значения из алфавита в 13-ой системе. Берём меньшую, т.к. эти переменные и в первом числе, и во втором одинаковые.


Если выполняется условие задачи, то нам интересно такое A при котором это произошло.


В этой задаче A получается достаточно большим, поэтому перебираем эту переменную до 5000.


Ответ: 1535

На этом всё! Вы прошли чемпионскую тренировку по подготовке 14 задания из ЕГЭ по информатике 2022. Успехов на экзамене!








02-12-2021 в 12:12:09







Поддержать сайт:

Похожая статья:

ЕГЭ по информатике 2022 - Задание 18 (Таблица чисел)

Привет! Мы добрались до 18 задания из ЕГЭ по информатике 2022....

Категория: ЕГЭ  Подкатегория: -
Дата: 11-02-2022 в 07:41:59 5


Комментарии:

"В переменную f записываем функцию". В переменную f мы записываем не функцию, а выражение
Ягуар 19-04-2022 в 11:16:49

Господа, вот это я понимаю, по-настоящему чемпионская подготовка. Тут же и язык свой придумали, и решение на нём сделали. Скажите, зачем над змеёй то издеваться? Очень уж режет слух неправильное произношение. "Пайтон" - вот как должно быть. Я бы промолчал, увидев это раз, но видя подобное насилие над словом постоянно - молчать более не могу
Никита 13-06-2022 в 16:04:25

Никита, Haters gonna hate
2UN 30-07-2022 в 20:43:09



Оставить коментарий:



Напишите email, чтобы получать сообщения о новых комментариях (необязательно):


Задача против робота. Расположите картинки горизонтально: