ОГЭ по физике - Задачи на закон всемирного тяготения

Привет! В этой статье мы посмотрим тренировочные задачи на закон всемирного тяготения в рамках подготовки к ОГЭ по физике.

Между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения. Такие силы так же называют гравитационными.

Это явление называется Законом всемирного тяготения. Этот закон впервые сформулирован Исааком Ньютоном в 1687 году.

Одинаковая по модулю сила F действует и на первое тело, и на второе тело.

Одно из проявлений закона всемирного тяготения - сила притяжения тела к Земле, называемая силой тяжести. Если на тело действует только сила тяжести, то оно движется относительно Земли с ускорением, которое называют ускорением свободного падения и обозначают буквой g.

Значение ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли равно примерно:

$$g\approx 9,8\frac{м}{{с}^2}$$

По второму закону Ньютона можно написать, что модуль силы тяжести равен:

$$F_{тяж}=mg$$

Перейдём к тренировочным задачам для подготовки к ОГЭ по физике.

Задача (Разминка)

Масса Луны составляет лишь 1/81 массы Земли. Если Земля притягивает Луну с силой, равной по модулю F, то какова сила, с которой Луна притягивает Землю?

Варианты ответов:

1) F/9
2) F
3) F/81
4) 9F

Решение:

По третьему закону Ньютона: Силы, с которыми тела взаимодействуют друг с другом, равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Поэтому сила, с которой Луна притягивает Землю так же равна F.

Ответ: 2



Задача (Используем формулу)

Пассажирский самолёт массой 240 тонн пролетел вблизи другого самолёта массой 270 тонн на расстоянии 500 м. Оцените наибольшую силу гравитационного взаимодействия между самолётами.

Решение:

Применим формулу из закона всемирного тяготения.

$$F=G\cdot \frac{m_1{m}_2}{r^2}$$
$$F=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{Н\cdot {м}^2}{к{г}^2}\cdot \frac{24\cdot {10}^4кг\cdot 27\cdot {10}^4кг}{(500м{)}^2}\approx$$

$$\approx 0,00001728864Н$$

Ответ: 0,00001728864 Н



Задача (Стандартная)

Сила тяготения между двумя однородными шарами уменьшится в 4 раза, если расстояние между центрами шаров

1) Увеличить в 2 раза
2) Уменьшить в 4 раза
3) Увеличить в 4 раза
4) Уменьшить в 4 раза

Решение:

Пусть в первом случае сила тяготения будет F₁:

$$F_1=G\cdot \frac{m_1{m}_2}{r_1^2}$$

Во втором случае F₂:

$$F_2=G\cdot \frac{m_1{m}_2}{r_2^2}$$

Нам сказали, что сила тяготения уменьшилась в 4 раза:

$$\frac{F_1}{F_2}=\frac{G{m}_1{m}_2}{r_1^2}\cdot \frac{r_2^2}{G{m}_1{m}_2}=4$$
$$\frac{r_2^2}{r_1^2}=4$$

Т.к. r₁ > 0 и r₂ > 0, то мы можем из левой и правой части уравнения безболезненно извлечь корень.

$$\frac{r_2}{r_1}=2$$

Получается, что расстояние нужно увеличить в 2 раза.

Ответ: 1



Задача (Качественная)

Сила тяжести действующая на космонавта на поверхности Луны,

1) больше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли
2) меньше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли
3) равна силе тяжести, действующей на него на поверхности Земли
4) больше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли на экваторе, и меньше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли на полюсе

Решение:

Вспомним ещё раз основную формулу всемирного тяготения:

$$F=G\cdot \frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

Из неё понятно, что чем массивнее тело, тем сильнее оно притягивает космонавта. Масса Земли больше массы Луны, поэтому ответ будет под номером 2.

Ответ: 2



Задача (Разгоняемся)

На рисунке изображены четыре пары сферически симметричных тел, расположенных друг относительно друга на разных расстояниях между центрами этих тел.

Сила взаимодействия двух тел одинаковых масс М, находящихся на расстоянии R друг от друга, равна F₀. Для какой пары тел сила гравитационного взаимодействия равна F₀/4 ?

1) Для пары A
2) Для пары Б
3) Для пары В
4) Для пары Г

Решение:

Сила гравитационного взаимодействия пропорциональна массам двух тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

$$F=G\cdot \frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

Рассмотрим случай A. Масса одного из тел была уменьшена в 4 раза, а расстояние осталось тем же, значит, сила как раз уменьшится в 4 раза. Этот случай соответствует силе F₀/4.

Рассмотрим остальные случаи и убедимся, что они не подходят.

Случай Б. Масса одного из тел уменьшилась в 2 раза, а расстояние тоже уменьшилось в два раза. Когда уменьшается расстояние в два раза, сила возрастает в 4 раза. Таким образом, в итоге сила будет равна 2F₀.

Случай В. Расстояние уменьшилось в 4 раза, значит, сила должна увеличится в 16 раз! Масса уменьшилась в 4 раза, значит, сила должна уменьшится в 4 раза. Таким образом, сила увеличится в 16/4 = 4 раза. Она будет равна 4F₀.

Случай Г. Масса одного из тел увеличилась в 2 раза, и расстояние увеличилось в 2 раза. Получается, что сила будет равна 2/2² ∙ F₀ = 1/2 F₀.

Ответ: 1



Задача (Закрепление)

Космический корабль, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, смещается на другую круговую орбиту, меньшего радиуса. Как при этом изменится сила тяготения, действующая на корабль, и модуль скорости корабля ?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается
2) уменьшится
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Сила тяготения, действующая на корабль	Модуль скорости корабля

Решение:

Спутник имеет скорость, которая направлена по касательной к орбите его вращения. Если бы не было силы, которая притягивает этот спутник к Земле, он бы двигался прямолинейно в том направлении, куда направлена скорость. Именно гравитационная сила постоянно корректирует направление движения, заставляя спутник Земли двигаться по окружности.

Если бы скорость была бы слишком большая, то гравитационная сила не смогла бы в достаточной мере корректировать движение, и спутник бы оторвался от Земли. Если бы скорость была бы слишком маленькая, то спутник упал бы на Землю.

Таким образом, если радус орбиты станет меньше, то сила тяготения станет больше, т.к. расстояние между центром Земли и спутником уменьшится. Чтобы оставаться на орбите, модуль скорости корабля должен так же увеличится.

Ответ:

Сила тяготения, действующая на корабль	Модуль скорости корабля
1	1

Задача (Искусственный спутник)

Искусственный спутник движется вокруг Луны по круговой орбите на расстоянии 100 км от поверхности Луны. Чему равна орбитальная скорость спутника? Масса Луны 7,3 ∙ 10²² кг, радиус - 1,7 ∙ 10⁶ м.

Решение:

Двигаясь по окружности, скорость тела постоянно изменяется по направлению. Из-за этого тело имеет центростремительное ускорение, которое направлено к центру.

Модуль вектора центростремительного ускорения можно найти по формуле:

$$a_{ц}=\frac{{\upsilon }^2}{R}$$

υ - модуль вектора скорости; R - радиус окружности, по которой движется тело.

В данной задаче на спутник действует только одна сила - сила тяготения. Именно эта сила и корректирует направление скорости тела, из-за чего возникает центростремительное ускорение.

Распишем второй закон Ньютона для данных величин:

$$F_{т}=G\cdot \frac{m_{Л}{m}_{с}}{R^2}=m_{с}\cdot a_{ц}$$

m_Л - масса Луны; m_с - масса спутника; R - расстояние между центром Луны и спутником, R = R_Л + H; Н - расстояние от поверхности Луны до спутника.

Масса спутника сокращается. Так же распишем центростремительное уравнение по формуле:

$$G\cdot \frac{m_{Л}}{(R_{Л}+H{)}^2}=\frac{{\upsilon }^2}{R_{Л}+H}$$
$$\upsilon =\sqrt{G\cdot \frac{m_{Л}}{(R_{Л}+H)}}$$
$$\upsilon =\sqrt{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{Н\cdot {м}^2}{к{г}^2}\frac{7,3\cdot {10}^{22}кг}{1,7\cdot {10}^6м+{10}^5м}}$$
$$\upsilon \approx 1645\frac{м}{с}$$
Ответ: 1645 м/c



Задача (Искусственный спутник 2)

Искусственный спутник движется вокруг Луны по круговой орбите на расстоянии 200 км от поверхности Луны. Чему равен период обращения спутника? Масса Луны равна 7,3∙10²² кг, радиус - 1,7∙10⁶ м.

Решение:

Орбитальную скорость спутника мы можем найти аналогично предыдущей задаче.

$$\upsilon =\sqrt{G\cdot \frac{m_{Л}}{(R_{Л}+H)}}$$

Орбитальная скорость υ, период обращение T и длина окружности 2πR орбиты связаны соотношением:

$$\upsilon =\frac{2\pi R}{T}$$

Это известная формула: скорость получается, если расстояние поделить на время.

В этой задаче модуль орбитальной скорости не меняется.

$$\sqrt{G\cdot \frac{m_{Л}}{R_{Л}+H}}=\frac{2\pi (R_{Л}+H)}{T}$$
$$T=\frac{2\pi (R_{Л}+H)}{\sqrt{G\cdot \frac{m_{Л}}{R_{Л}+H}}}$$
$$T=\frac{2\cdot 3,14(1,7\cdot {10}^6м+2\cdot {10}^5м)}{\sqrt{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{Н\cdot {м}^2}{к{г}^2}\cdot \frac{7,3\cdot {10}^{22}кг}{1,7\cdot {10}^6м+2\cdot {10}^5м}}}$$
$$T\approx 7495c$$
Ответ: 7495 c



Задача (Закрепление)

На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к Земле в 100 раз меньше, чем на её поверхности. Ответ выразите в радиусах Земли.

Решение:

На поверхности Земли сила притяжения равна:

$$F_1=G\cdot \frac{m_{З}{m}_{к}}{R_{З}^2}$$

Сила притяжения на расстоянии Н:

$$F_2=G\cdot \frac{m_{З}{m}_{к}}{(R_{З}+H{)}^2}$$
$$F_1=100F_2$$
$$G\cdot \frac{m_{З}{m}_{к}}{R_{З}^2}=100\cdot G\cdot \frac{m_{З}{m}_{к}}{(R_{З}+H{)}^2}$$
$$R_{З}^2=\frac{(R_{З}+H{)}^2}{100}$$

Т.к. все величины в этом уравнении положительные, то можно из левой и правой части уравнения извлечь корень.

$$10R_{З}=R_{З}+H$$
$$Н=9R_{З}$$
Ответ: 9R_З