Решение уравнений методом касательных (алгоритм Ньютона) на C#

Привет! Сегодня посмотрим, как приближённо решать уравнения с помощью метода касательных (алгоритма Ньютона).

И напишем программу на языке программирования C#.

Пусть дано нелинейное уравнение: f(x) = 0 (Если уравнение будет линейное, то невозможно будет провести касательную). Метод касательных поможет приближённо найти корень уравнения на отрезке [a, b], при условии, что функция непрерывна на замкнутом интервале [a, b], и корень на этом отрезке только один! А так же функция не меняет свою вогнутость или выпуклость (постоянный знак второй производной) и не имеет экстремумов (первая производная не равна нулю) на отрезке [a, b].

Графически функция может выглядеть следующим образом:

Т.е. самая стандартная функция.

Графическая интерпретация метода Ньютона:

От x₀ узнаём значение функции. В этой точке проводим касательную. Касательная пересекает ось X, и мы получаем новую точку x₁. И начинаем всё сначала. Числа x₀, x₁, x₂ и т.д. приближаются к корню уравнения.

Выведем формулу для x_n.

Приравняем к нулю (пересечение с осью X) и выразим x.

Погрешность данного метода ε > |x_n+1 - x_n|. Причём самая первая точка x₀ не берётся во внимание при определении погрешности. Т.е. если |x_n+1 - x_n| меньше, чем заданное значение ε, то можно прекращать вычисления.

За саму первую точку x₀ берут либо начало отрезка a, либо конец отрезка b. Это зависит от возрастания или убывания функции, а так же, в какую сторону выпукла функция.

Удобно пользоваться правилом:

• x₀ = a, если f(a)*f′′(x)>0
• x₀ = b, если f(b)*f′′(x)>0

Для примера, найдём положительный корень уравнения: x² = 2

Определим отрезок [1, 2], где будем искать корень.

Определим корень уравнения с точностью до ε=0.001 на языке программирования C#.

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;


namespace ConsoleApp64
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            double x0, xn, xnp1, e;
          
            e = 0.001;
            x0 = 2;
            xn = x0 - (Math.Pow(x0, 2)-2)/(2*x0) ;
            xnp1 = xn - (Math.Pow(xn, 2)-2)/(2*xn);


            while (xn - xnp1 >= e)
            {
                xn = xnp1;
                xnp1 = xn - (Math.Pow(xn, 2)-2) / (2 * xn);
 
            }

            Console.WriteLine("{0:0.000}", xnp1);
        }
    }
}

Т.к. x₀ - не участвует при вычислении погрешности, то мы в начале до цикла while вычисляем x_n и x_n+1 (xnp1). Т.к. тип данных double, то чтобы возвести число в степень, используем специальную функцию Math.Pow(). В условии цикла while мы используем разницу без модуля, потому что мы идём от правого конца отрезка, и xn всегда больше, чем xnp1.