ЕГЭ по информатике 2023 - Задание 25 (Делимость чисел)

Всем привет! Добрались мы до 25 задания из ЕГЭ по информатике 2023.

Рассмотрим типовые задачи, а так же новые формулировки 25 задания из ЕГЭ по информатике 2023.

Приступаем к первой классической задаче.

Пусть M – сумма минимального и максимального натуральных делителей целого числа, не считая единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то значение M считается равным нулю.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, бо́льшие 700 000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение M оканчивается на 8. Выведите первые пять найденных чисел и соответствующие им значения M.

Формат вывода: для каждого из пяти таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем – значение М. Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

На ЕГЭ по информатике 2023 удобно писать программы на языке Python.

count=0

for i in range(700001, 800000):

    m=0
    a=[]

    for j in range(2, int(i**0.5)+1):
        if i%j==0:
            a.append(j)
            b=i//j
            if j!=b:
                a.append(b)

    if len(a)>=1:
        a.sort()
        m=a[0]+a[-1]

        if m%10==8:
           print(i, m)
           
           count = count + 1
           if count == 5:
               break

В данной программе перебираются числа в цикле for, начиная с 700001.

Для каждого числа i заводим искомую переменную m и список a, где будем хранить все делители этого числа, не считая 1 и самого числа. Затем, с помощью ещё одного цикла for перебираются числа с 2 до корня числа i (включительно).

Если до корня числа включительно не встретился ни один делитель, значит, у числа нет делителей, кроме 1 и самого числа.

Пусть у нас есть число A. Если у этого числа есть делитель d1, то он находится до корня этого числа (или равен корню числа). А вот то число (так же делитель d4), на которое умножается d1, чтобы получить A, будет находиться после корня A (или равен корню).

Получается, что у каждого делителя есть своя пара. У единицы - это само число. Причём, один делитель из пары находится до корня, другой после корня. Исключением будет тот случай, когда из числа А извлекается целый корень. Тогда для этого корня не будет пары (парой и будет само это число √A * √A = A).

Таким образом, нам достаточно пройтись до корня числа включительно, чтобы найти все делители числа i. Мы идём от 2, значит, единица и само число не рассматривается.

Если переменная j является делителем, то мы её заносим в список a. Сразу ищем "брата" b делителя j. Если "брат" b и переменная j не равны друг другу (равны они могут быть, если из числа i извлекается корень, например 16 = 4*4), то заносим переменную b так же в список a. Нет смысла заносить в список a одинаковые делители.

После того, как закончился цикл j, в списке a будут все делители числа i, кроме единицы и самого числа.

Если там есть хотя бы один делитель, то, значит, имеется максимальный и минимальный делитель. Мы сортируем список a, чтобы все делители были в порядке возрастания, т.к. изначально они не были упорядочены.

Находим число m. Это сумма максимального и минимального делителя. Первый элемент a[0] - это минимальный делитель. Последний элемент a[-1] - это максимальный делитель.

Если число, m подходит по условию, то мы печатаем число i и m.

Счётчик count нужен, чтобы распечатать первые пять чисел.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 550 000, в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых наибольший натуральный делитель, не равный самому числу, не является простым числом.

Программа должна найти и вывести первые 6 таких чисел и соответствующие им значения упомянутых делителей.

Формат вывода: для каждого из 6 таких найденных чисел в отдельной строке сначала выводится само число, затем упомянутый делитель. Строки выводятся в порядке возрастания найденных чисел.

Например, для числа 105 наибольший натуральный делитель 35 не является простым, для числа 15 наибольший натуральный делитель 5 — простое число, а для числа 13 такого делителя не существует.

Здесь мы ищем наибольший делитель числа, как и в прошлом решении.

def Pr(x):
    for i in range(2, int(x**0.5)+1):
        if x%i==0: return False
    return True


count=0
for i in range(550001, 1000000):

    a=[]
    
    for j in range(2, int(i**0.5) + 1):
         if i%j==0:
            a.append(j)
            b=i//j
            if j!=b:
                a.append(b)
                
    if len(a)>=1:
        a.sort()
        if not(Pr(a[-1])):
            count=count+1
            print(i, a[-1])

        if count==6: break

Чтобы проверить число, является ли оно простым, напишем функцию Pr(). Там мы проходим до корня числа. Если не встретился не один делитель, значит, число простое — возвращаем True. Если до корня хотя бы один делитель встретили — возвращаем False.

Остальное похоже на предыдущую задачу.

Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [258274; 258297], числа, имеющие ровно 4 различных делителя. Выведите для каждого найденного числа два наибольших делителя в порядке возрастания.

import math

for i in range(258274, 258298):
    a=[]
    for j in range(1, int(math.sqrt(i))+1):
        if i%j==0:
            a.append(j)
            b=i//j
            if j!=b:
                a.append(b)

    if len(a)==4:
        a.sort()
        print(a[2], a[3])

Здесь для каждого числа i заводим массив a, где будем сохранять все его делители. Идём как всегда до корня. Если мы нашли делитель, мы добавляем его в массив a c помощью команды append и ищем его "брата". Второй делитель ("брат") не должен равняться самому делителю j, т.к. нам сказали, что все делители должны быть различны. Одинаковые делители j и b могут получится, если из нашего числа i извлекается целый корень. Ведь для делителя √i является парой этот же делитель ( √i* √i=i).

После прохождения внутреннего цикла (с переменной j) в массиве a будут сидеть все делители числа i. Если их ровно 4, то сортируем массив a и выводим на экран два наибольших.

Назовём нетривиальным делителем натурального числа его делитель, не равный единице и самому числу. Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку [4234679; 10157812] и имеющие ровно три нетривиальных делителя. Для каждого найденного числа запишите в ответе само число и его наибольший нетривиальный делитель. Найденные числа расположите в порядке возрастания.

import math

for i in range(4234679, 10157813):
    if int(math.sqrt(i))**2 == i:
        a=[]
        for j in range(2, int(math.sqrt(i))+1):
            if i%j==0:
                a.append(j)
                b=i//j
                if j!=b:
                    a.append(b)
        if len(a)==3:
            a.sort()
            print(i, a[2])

Как у нас могут быть три различных нетривиальных делителя, когда делители идут, как мы выяснили, парами? Это может быть, когда существует целый корень из этого числа. Тогда в паре два числа будут одинаковыми (√i* √i = i). Поэтому в этой задаче нас интересуют числа из которых извлекается целый корень.

Если этим рассуждением не воспользуемся, то программа будет считать очень долго, потому что здесь диапазон и сами числа очень большие.

Далее, решаем, как и в прошлый раз.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

— символ "?" означает ровно одну произвольную цифру;

— символ "*" означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе "*" может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответсвуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 1234*7, делящиеся на 141 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа в порядке возрастания, а во втором столбце — соответствующие им результаты деления этих чисел на 141.

Здесь самый главный момент заключается в том, что есть верхняя граница 10⁸. Т.е. самое большое число, которое нужно рассмотреть 1234[999]7 <= 10⁸ = 100000000. Нижняя граница тоже задана, когда вместо звёздочки ни одной цифры не будет 12347.

i=12347

#Вместо звёздочки ноль разрядов
if i%141==0:
    print(i, i//141)

#Вместо звёздочки один разряд
for x in '0123456789':
    s = '1234' + x + '7'
    i=int(s)
    if i%141==0:
        print(i, i//141)

#Вместо звёздочки два разряда
for x in '0123456789':
    for y in '0123456789':
        s = '1234' + x + y + '7'
        i=int(s)
        if i%141==0:
            print(i, i//141)

#Вместо звёздочки три разряда
for x in '0123456789':
    for y in '0123456789':
        for z in '0123456789':
            s = '1234' + x + y + z + '7'
            i = int(s)
            if i%141==0:
                print(i, i//141)

Таким образом, нужно рассмотреть, когда вместо звёздочки ноль разрядов, один разряд, два разряда и три разряда.

Каждый разряд перебираем как цифры (символы). Формируем строку s, а затем её переводим в тип int.

Когда два разряда или три разряда нужно перебирать строку с помощью вложенных циклов.

Функция fnmatch() модуля fnmatch проверяет, соответствует ли строка имени файла шаблонной строке, возвращая True или False .

Пример использования:

from fnmatch import *

s = ['Привет','пакет','приток','перемена']

for x in s:
    if fnmatch(x,'п*е?'): print(x,'yes')
    else: print(x,'no')

Результат запуска:

from fnmatch import *

for i in range(141, 10**8+1, 141):
    if fnmatch(str(i), '1234*7'):
        print(i, i//141)