ЕГЭ по информатике 2022 - Задание 5 (Линейный алгоритм)

Привет! В этой статье будут различные примеры решения задач из 5-ого задания ЕГЭ по информатике 2022.

Задание 5 решается не сложно, но, как всегда, нужно потренироваться решать подобные задачи, чтобы уверенно себя чувствовать на ЕГЭ по информатике 2022.

Рассмотрим классический пример.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R по следующему принципу.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, которое превышает 42 и может являться результатом работы алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе.

Решение на Python.

for n in range(1, 1000):
    s=format(n, 'b')
    s=s+str(s.count('1')%2)
    s=s+str(s.count('1')%2)
    r=int(s, 2)
    if r>42:
        print(r)

Программа будет выводить различные числа, но нас интересует самое маленькое. В ответе получается 46. Чтобы остановить поток чисел, можно нажать сочетание Ctrl + C.

В программе перебираем натуральные числа от 1 до 1000 с помощью цикла for. Каждое число подставляем в описанный алгоритм, в надежде получить в результате число r, удовлетворяющие условию задачи.

С помощью функции format переводим число n в двоичный вид. Получаем результат в виде строки s.

Чтобы найти сумму цифр получившейся двоичной записи, достаточно подсчитать количество единиц в строке s. Ведь только единицы в двоичной записи дают в сумму результат. Это можно сделать, применив функцию .count() к строке s.

Добавляем справа к строке s остаток от деления суммы цифр на 2. Остаток нужно превратить в строковый тип данных, чтобы "присоединить" к строке s справа.

Повторяем пункт Б, скопировав строку с пунктом А.

Чтобы обратно превратить строку двоичной записи в десятичное число, используем функцию int(), указав параметр 2.

В конце программы пропишем условие. Если r больше 42, то будем печатать эти значения. Остаётся выбрать минимальное число r.

Решение с помощью рассуждений.

Алгоритму на вход приходит обычное натуральное число N.

Это число преобразуется в двоичную запись (пункт 1).

Во втором пункте правил формирования нового числа сказано, что к числу, полученному в первом пункте, дописываются справа ещё два дополнительных разряда.

Про 1 дополнительный разряд указано в подпункте а): "Складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописываются в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001."

Если по простому сказать, то мы подсчитываем количество единиц в двоичном представлении числа N. Если количество единиц чётное, то пишем в 1 дополнительный разряд ноль, если нечётное, то пишем в 1 дополнительный разряд единицу.

Со вторым дополнительным разрядом происходит всё тоже самое, что и с первым разрядом, только когда подсчитываем количество единиц, мы так же подсчитываем и в 1-ом дополнительном разряде.

В вопросе просят указать входящее наименьшее число N, чтобы автомат выдал число R больше 42.

Возьмём наименьшее число, которое больше 42 (т.е. 43) и переведём его в двоичную систему. Это можно сделать с помощью стандартного windows калькулятора.

Вызываем калькулятор, выбираем Вид->Программист. Кликаем на отметку Dec (это означает, что мы находимся в десятичной системе) и набираем число 43. Затем кликаем на отметку Bin

Проверим число 101011₂. Может ли оно быть результатом работы нашего алгоритма?

Отделяем два дополнительных разряда справа. У нас, не считая двух дополнительных разрядов, количество единиц равно двум. Количество чётное, значит, в первом дополнительном разряде должен стоять 0. А у нас стоит 1.

Следовательно, число 101011₂ не может являться результатом работы алгоритма. И это число не подходит.

Проверим последующие числа. На калькуляторе можно прибавлять по 1 и получать следующее число в двоичной системе. Мы проверяем последовательно числа, чтобы не пропустить самое маленькое число.

Подходит число 101110₂. Количество единиц без двух дополнительных разрядов равно трём. Число нечётное. Значит, в первом дополнительном разряде должна стоять 1. В этом числе как раз стоит 1.

Количество единиц вместе с дополнительным разрядом равно 4. Число чётное, значит, во втором дополнительном разряде должен стоять 0. У нас и стоит во втором дополнительном разряде 0. Следовательно, число 101110₂ подходит по всем правилам и является наименьшим.

В десятичной системе это число 46.

Рассмотрим ещё одну интересную задачу для подготовки к ЕГЭ по информатике 2022.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

Полученная таким образом запись (в ней в два раза больше разрядов, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите максимальное нечётное число R, меньшее 256, которое может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе.

Решение на Python.

for n in range(1, 1000):
    s=format(n, 'b')
    s2=''
    for x in s:
        if x=='0':
            s2 = s2 + '01'
        else:
            s2 = s2 + '10'
    r=int(s2, 2)
    if r%2!=0 and r<256:
        print(r) 

Получается наибольшее число 169.

Здесь после того, как построена строка, содержащая двоичную запись числа n, мы с помощью цикла for перебираем каждый символ и анализируем его.

Предварительно создав переменную s2 для новой строки, мы записываем в неё '01', если анализируемый символ является нулём, и '10', если единицей.

Добавляем заменённые символы справа к строке s2, таким образом, самый первые символы окажутся постепенно слева, как положено.

Далее, делаем, как в прошлой задаче.

Решение с помощью рассуждений.

В этой задаче в начале строится двоичная запись числа N.

Каждый разряд превращается в два разряда! Единица превращается в 10. Ноль превращается в 01. На рисунке показан пример, как будет преобразовано число 10 = 1010₂.

Оценим первое число, которое меньше, чем 256. Это число 255.

Здесь количество разрядов равно 8. Это чётное число, значит, такое количество разрядов может быть в результате работы алгоритма. Только чётное количество разрядов может получится в результате работы алгоритма.

В старших двух разрядах должны быть цифры 10, т.к. исходное число N не может начинаться с нуля.

В остальных парах попробуем написать 10, чтобы число было как можно больше.

Получается, что число 10101010₂ удовлетворяет всем правилам алгоритма, является наибольшим, и оно меньше 256.

Но важный момент, нас просили в ответ записать нечётное число.

Чтобы число было нечётным, изменим последние разряды на 01.

Набираем обороты в решении 5 задания из ЕГЭ по информатике 2022.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу: если N чётное, в конце числа справа дописываются два нуля, в противном случае справа дописываются две единицы. Например, двоичная запись 1101 будет преобразована в 110111.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью числа - результата работы данного алгоритма.

Укажите минимальное число N, для которого результат работы алгоритма будет больше 130. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

Решение на Python.

for n in range(1, 1000):
    s=format(n, 'b')
    
    if n%2==0:
        s=s+'00'
    else:
        s=s+'11'

    r=int(s, 2)
    if r>130:
        print(n)

Минимальное число n получается 33.

Обратите внимание, что здесь уже анализируем число n. Если оно чётное, то к переменной s справа дописываем '00', иначе '11'. Так же в этой задаче мы печатаем в ответе само число n.

Решение с помощью рассуждений.

После перевода в двоичную систему исходного числа N, алгоритм строит новое число по следующему правилу:

Бордовым прямоугольником показаны дополнительные разряды.

Нужно найти минимальное число больше 130. Будем проверять последовательно числа, начиная с 131.

Подходит число 135. В ответе нужно указать число N. Отбросим от числа 10000111₂ дополнительные разряды и переведём в десятичную систему.

Похожие задачи встречались в сборнике С. С. Крылова для подготовке к ЕГЭ по информатике.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Из числа N вычитается остаток от деления N на 4.

2. Строится двоичная запись полученного результата.

3. К это записи справа дописываются ещё два дополнительных разряда по следующему правилу:

а) Складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописываются в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001.

б) Над этой записью производятся те же действия - справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.

Полученная таким образом запись является двоичной записью числа R.

Укажите наибольшее число N, для которого результат работы данного алгоритма меньше 47. В ответе число N укажите в десятичной системе.

Первый способ. Число R должно быть меньше 47. Переведём число 46 в двоичную систему.

Результат от второго пункта не должен превышать 1011₂. Если результат от второго пункта будет превышать это число, то после добавления дополнительных разрядов получится число R, которое не меньше 47.

Проверим число 1011₂ = 11. Видим, что это число не может являться результатом пункта 2.

Здесь мы перебираем все остатки при делении на 4. Чтобы число 11 могло являться результатом пункта 2, число, помеченное зелёным цветом, должно совпадать с числом, помеченное оранжевым цветом. Стоит заметить, что если в первой строчке не совпадают числа, то и в остальных они тоже не совпадут. Верно и обратное. Если в первой строчке совпадут числа, то и для остальных остатков тоже числа будут совпадать.

Найдём, число, для которого будут совпадать эти числа, отмеченные зелёным и оранжевым цветом.

Значит, число 8 нам подходит. Число 8 - это результат работы алгоритма в первом пункте. Нас просят найти максимальное число. Следовательно, возьмём остаток 3, чтобы исходное число N было как можно больше. Тогда N будет:

Ответ получается 11.

Второй способ. Решим задачу с помощью Python'а.

Перебираем числа от 100 до 1 с помощью цикла for. Третий параметр "-1" в цикле for говорит о том, что мы перебираем числа в обратном порядке.

for i in range(100, 0, -1):
    n = i
    n = n - n % 4 # Выполняем первый пункт
    n = format(n, 'b') # Переводим в двоичную систему
    n = n + str(n.count('1') % 2) # Подпункт a) третьего пункта
    n = n + str(n.count('1') % 2) # Подпункт б) третьего пункта
    r = int(n, 2) # Переводим из двоичной системы в десятичную
    if r < 47:
        print(i)

В этой программе запрограммировали алгоритм, который указан в задаче. Если значение переменной r (результат работы алгоритма) меньше 47, то печатаем это значение на экран. Первое распечатанное число и есть ответ к задаче.

В переменную n по очереди подставляются числа из нашего диапазона (100-1). Команда % находит остаток от деления.

Функция count, в данном случае, подсчитывает количество единиц в строке, которая находится в переменной n.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

a) если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается 0, а затем два левых разряда заменяются на 10;

б) если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается 1, а затем два левых разряда заменяются на 11.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 6₁₀ = 110₂ результатом является число 1000₂ = 8₁₀, а для исходного числа 4₁₀ = 100₂ результатом является число 1101₂ = 13₁₀.

Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, большее 40. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

for n in range(1, 1000):
    s=format(n, 'b')
    if s.count('1')%2==0:
        s = s + '0'
        s = '10' + s[2:]
    else:
        s = s + '1'
        s = '11' + s[2:]
    r=int(s, 2)

    if r>40:
        print(n)

Здесь мы пишем программу, как было написано в уроке видеокурса ЕГЭ по информатике. Но, действительно, встречается и новый приём. Нужно изменить левые символы нашей строки s. Это можно сделать с помощью такой конструкции s[2:]. Таким образом, мы берём всю строку, кроме двух первых символов. Например, s='football', то s[2:] будет обозначать 'otball'.

Повторим основные идеи такого подхода при решении пятого задания из ЕГЭ по информатике с помощью программирования. Перебираем числа от 1 до 999 с помощью цикла for. В этом диапазоне надеемся найти наш ответ. С помощью команды format() превращаем число в строку уже в двоичной системе. Сумма цифр в строке зависит только от количества единиц. Нули ничего не дают в сумму. Поэтому применяем функцию .count. Дальше всё делаем, как написано в условии задачи. Команда int(s, 2) превращает строку в двоичной системе в число опять в десятичной системе счисления.

Автомат обрабатывает натуральное число N > 1 по следующему алгоритму:

При каком наименьшем числе N в результате работы алгоритма получится R > 170? В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

Напишем программу на Python.

for n in range(2, 1000):
    s=format(n, 'b')

    s=s+s[-2]
    s=s+s[1]

    r=int(s, 2)
    if r>170:
        print(n)

Получается наименьшее число 43. К последнему символу можем обратится s[-1], к предпоследнему s[-2]. Но счёт слева начинается с нуля. Первый символ это s[0], второй символ s[1] и т.д.

Обратите внимание, что перебирать числа n в этой задаче начинаем с 2.

(А.М. Кабанов) Автомат обрабатывает натуральное число N (1≤N≤255) по следующему алгоритму:

Каково наибольшее число, меньшее 100, которое после обработки автоматом не изменится?

for n in range(1, 256):
    s=format(n, 'b')

    # делаем 8-ое число
    while(len(s)<8):
        s='0'+s

    s=s[:-1] #удаляется последняя цифра
    s=s[::-1] #число переворачивается

    r=int(s, 2)
    if n<100 and r==n:
        print(n)

Ответ получается 90.

Восьмибитное число имеет длину 8 символов. После того, как перевели число n в двоичный вид, с помощью цикла while добисываем нули слева к строке s, пока длина этой строки меньше 8.

Удалить последнюю цифру можно с помощью конструкции s[:-1]. Здесь мы оставляем все цифры, начиная с первой до последней (не включительно).

Перевернуть строку можно с помощью конструкции s[::-1].

Далее решаем как обычно. Число не изменится, если входное число n равно выходному числу r.

Разберём задачу, которая была в пробном варианте от 3.02.23 в одном из регионов.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

a) если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается 0, а затем два левых разряда заменяются на 1;

б) если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается 1, а затем два левых разряда заменяются на 11;

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 6₁₀ = 110₂ результатом является число 100₂ = 4₁₀, а для исходного числа 4₁₀ = 100₂ результатом является число 1101₂ = 13₁₀.

Укажите число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается наименьшее значение R, большее 49. В ответе запишите это число в десятичной системе.

Напишем программу на языке Python.

for n in range(1, 1000):
    s=format(n, 'b')
    if s.count('1')%2==0:
        s = s + '0'
        s = '1' + s[2:]
    else:
        s = s + '1'
        s = '11' + s[2:]
    r=int(s, 2)
    if r>49:
        print(r, n)

Хитрость задачки заключается в том, что числа r возрастают неравномерно.

Нам необходимо глазами найти наименьше число r (первое число). Это число 50, а n для него равно 57.

При желании программу можно переписать следующим образом:

r_min=10**9
n_r_min = 0
for n in range(1, 1000):
    s=format(n, 'b')
    if s.count('1')%2==0:
        s = s + '0'
        s = '1' + s[2:]
    else:
        s = s + '1'
        s = '11' + s[2:]
    r=int(s, 2)
    if r > 49:
         if r < r_min:
            r_min=r
            n_r_min=n

print(n_r_min)

Здесь ищется минимальное число r автоматически и для него запоминается значение n, которое пойдет в ответ.

Боковой вариант 5-ого задания из ЕГЭ по информатике.

Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам:

1. Перемножаются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 2465. Суммы: 2 * 4 = 8; 6 * 5 = 30. Результат: 308. Укажите наибольшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 124.

В подобных задачах из ЕГЭ по информатике нумерация происходит начиная со старшего разряда.

Первое правило можно представить следующим образом:

Второе правило заключается в том, что мы "соединяем" два числа, полученных в первом пункте, причём, сначала идёт большее число, а затем меньшее.

Проанализируем число 124.

Чтобы четырёхзначное число было наибольшим, выгодно, чтобы в старшем разряде стояла 9. Но, не у числа 12, не у числа 4, нет такого делителя. Какой наибольший делитель мы можем получить? Это число 6. Число 6 является делителем 12-ти. Значит, первая цифра будет 6, а вторая цифра будет 2 (6*2=12).

Рассмотрим второе число 4. Третий разряд тоже желательно сделать побольше. Значит, в четвёртый разряд поставим 4, а в младший разряд 1 (4*1=4).

Ответ получается 6241.

Счастливых экзаменов! Видеоролик можете посмотреть ниже!