Заметили ошибку ?
Выделите это место и нажмите Ctrl + Q

ЕГЭ по информатике 2021 - Задание 14 (Чемпионская подготовка)



Мы подошли к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2021. Оно связано с различными системами счисления. Что такое различные системы счисления, мы рассматривали в этой статье. Так же будет полезно посмотреть эту статью.


Переходим к первому тренировочному 14-ому заданию из ЕГЭ по информатике. Раньше это задание было под номером 16.



Задача (ЕГЭ по информатике, 2019, Москва)

Значение выражения 536 + 524 - 25 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр "4" содержится в этой записи?


Решение:

Сформулируем главное правило, на которое будем опираться при решении подобного типа задач.


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (основное правило)

Примеры:
54 (в десятичной системе) - это 100005 (в пятеричной системе)
72 (в десятичной системе) - это 1007 (в семеричной системе)
29 (в десятичной системе) - это 10000000002 (в двоичной системе)

Перепишем наше выражение, чтобы все числа были в виде степени представлены.


536 + 524 - 52

Посчитаем 536 + 524 в пятеричной системе столбиком, используя основное правило.


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (суммируем столбиком в пятеричной системе)

Здесь всё просто: ноль прибавить ноль, будет ноль. Единица плюс ноль, будет один.


Теперь от получившегося числа нужно отнять 52 (1005).


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (вычитаем столбиком в пятеричной системе)

Первые два разряда посчитать легко. Ноль минус ноль, будет ноль.


Третий разряд: из нуля отнять единицу мы не можем, поэтому занимаем у более старших разрядов.


В более старших разрядах тоже нули, поэтому идём до единицы, у которой можно занять. Получается 22 четвёрки.


Вот как было бы, если бы считали в нашей родной десятичной системе счисления в аналогичной ситуации.


Здесь мы считаем в десятичной системе, поэтому получаются девятки. В нашей задаче считали в пятеричной системе, поэтому получаются четвёрки.


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (вычитаем столбиком в десятичной системе)

В ответе напишем 22 четвёрки.


Ответ: 22


Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)

Значение выражения 168 × 420 - 45 - 64 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр "3" содержится в этой записи?


Решение:

Преобразуем наше выражение. Приведём всё к 4-ам.


168 × 420 - 45 - 64 =
= (42)8 × 420 - 45 - 43 =
= 416 × 420 - 45 - 43 =
= 436 - 45 - 43

Здесь не можем применить технику устного счёта, потому что стоят два минуса. Значит, будем решать с помощью столбиков.


Сначала посчитаем 436 - 45.


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (решение 2020 Москва)

Теперь от этого числа нужно отнять 43 (10004)


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (решение 2020 Москва 2)

Получается 32 тройки.


В последнем вычислении нет ничего сложно. В десятичной системе вы бы легко вычислили в аналогичной ситуации.


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (решение 2020 Москва 2 десятичная система)


Ответ: 32


Задача (Тренировочная)

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры.


Решение:

1) Переведём число 17 в троичную систему.


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (переводим в троичную систему)

Получилось 1223.


2) Теперь выпишем все числа, которые не превосходят 1223 (Т.е. 1223 тоже подходит!), запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры. В троичной системе могут применяться цифры 0, 1, 2.


1223
1223
1113
1003
223
113

Теперь переведём эти числа в десятичную систему.


1223 = 2 × 30 + 2 × 31 + 1 × 32 = 1710
1113 = 1 × 30 + 1 × 31 + 1 × 32 = 1310
1003 = 0 × 30 + 0 × 31 + 1 × 32 = 910
223 = 2 × 30 + 2 × 31 = 810
113 = 1 × 30 + 1 × 31 = 410

Ответ: 4, 8, 9, 13, 17

Ещё один интересный тип задания номер 14, который вполне может быть на реальном ЕГЭ по информатике 2021.


Задача (Уравнение)

Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.


Решение:

Переведём каждое из чисел 225x и 405y в десятичную систему счисления и приравняем, т.к. эти числа равны.


5 × x0 + 2 × x1 + 2 × x2 = 5 × y0 + 0 × y1 + 4 × y2

Любое число в нулевой степени - это 1. Значит, 5 × x0 = 5 × y0 = 5. Эти два выражения равны одному и тому же значению, следовательно, их можно убрать и слева, и справа.


2x + 2x2 = 4y2
x + x2 = 2y2
x(1 + x) = 2y2

Получили уравнение в целых числах. Слева умножение двух последовательных чисел. Нужно начать подбирать целые числа.



При y = 2 :

x (1 + x) = 2 × 22 = 8 ; нет последовательных чисел, которые при умножении дают 8, ищем дальше


При y = 3 :

x (1 + x) = 2 × 32 = 18 ; нет последовательных чисел, которые при умножении дают 18, ищем дальше


При y = 4 :

x (1 + x) = 2 × 42 = 32 ; нет последовательных чисел, которые при умножении дают 32, ищем дальше


При y = 5 :

x (1 + x) = 2 × 52 = 50 ; нет последовательных чисел, которые при умножении дают 50, ищем дальше


При y = 6 :

x (1 + x) = 2 × 62 = 72 ; Произведение двух последовательных чисел 8 * 9 = 72. Значит, x = 8.



Получается, что наименьшее значение x равно 8.


В подобных задач нужно знать, что числа обязательно найдутся, нужно их просто хорошо поискать.


Ответ: 8

Для качественной проработки 14 задания из ЕГЭ по информатике 2021 разберём ещё некоторые задачи.


Задача (Основание системы)

Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?


Решение:

Чтобы перевести число из нашей родной системы счисления в любую другую систему с основанием N, нужно начать делить это число уголком на N.


Сказано, что число в системе с основанием N оканчивается на 2. Поэтому первый остаток должен быть равен 2!

ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (Число оканчивается на 2)

Число 336 должно делится на N.


Сказано, что число в системе счисления с основанием N должно быть трёхзначное. Оценим примерные границы числа N, чтобы число было трёхзначным.


Оценим примерную верхнюю границу для N. Если, что N = 20, то 338 : 20 = 16 (ост. 18). Видим, что при одном делении мы получаем число 16, т.е. число меньше, чем 20. Значит, если бы мы переводили число 338 в двадцатеричную систему, получили бы двухзначное число.


Значит, N < 20!


Найдём число, которое меньше 20, и является делителем числа 336. Начинаем перебирать с наибольших чисел.


Подошло число 16 (16 * 21 = 336!)


Проверим, что это число нам подходит на 100 %.


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (Максимально возможное основание системы)

Видим, что мы выполнили все условия задачи и нашли число N максимально возможное.


Ответ: 16

Продолжаем подготовку к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2021


Задача (На понимание)

Запись числа в девятеричной системе счисления заканчивается цифрой 4. Какой будет последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления?


Решение:

Подберём такие числа в десятичной системе, которые в остатке при первом делении на 9 дадут 4!


Посмотрим, какой остаток будет при делении этого же числа на 3 при первом делении. Получается 1. Это и будет ответ.


ЕГЭ по информатике 2021 - задание 14 (Последняя цифра в троичной системе)
Ответ: 1


Задача (Закрепление материала)

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.


Решение:

Нужно перебрать все числа от 3 до 23 и определить, какие из них при делении числа 23 дадут остаток 2.


23 : 3 = 7 (ост. 2) +
23 : 4 = 5 (ост. 3) -
23 : 5 = 4 (ост. 3) -
23 : 6 = 3 (ост. 5) -
23 : 7 = 3 (ост. 2) +
23 : 8 = 2 (ост. 7) -
23 : 9 = 2 (ост. 5) -
23 : 10 = 2 (ост. 3) -
23 : 11 = 2 (ост. 1) -
23 : 12 = 1 (ост. 11) -
23 : 13 = 1 (ост. 10) -
23 : 14 = 1 (ост. 9) -
23 : 15 = 1 (ост. 8) -
23 : 16 = 1 (ост. 7) -
23 : 17 = 1 (ост. 6) -
23 : 18 = 1 (ост. 5) -
23 : 19 = 1 (ост. 4) -
23 : 20 = 1 (ост. 3) -
23 : 21 = 1 (ост. 2) +
23 : 22 = 1 (ост. 1) -
23 : 23 = 1 (ост. 0) -

Подходят числа 3, 7, 21.


Ответ: 3, 7, 21


Задача (Добъём 14 задание из ЕГЭ по информатике 2021)

В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.


Решение:

Нужно найти такое число, чтобы числа 66 и 40 при делении на это число давали остаток 1.


Т.е. искомое число должно быть делителем чисел 65 (66-1) и 39 (40-1). У числа 39 не так много делителей: 1, 3, 13, 39


Видим, что число 65 делится на 13 (65 : 13 = 5). Поэтому искомое число равно 13.


Ответ: 13


Задача (Для чемпионов!)

В какой системе счисления выполняется равенство 12 · 13 = 222?
В ответе укажите число – основание системы счисления.


Решение:

Если бы мы находились в десятичной системе, то последней цифрой была бы 6 (2 * 3). Но у нас 2! Т.е. Система счисления меньше или равна 6, т.к. если бы система счисления была больше 6, то у нас была бы 6 последняя цифра.


Шестёрка не "поместилась" в младший разряд, от неё осталось только 2. Остальные 4 единицы ушли в более старший разряд. Если 4 единицы составляют единицу более старшего разряда, то значит, мы находимся в четверичной системе.


Ответ: 4

На этом всё! Вы прошли чемпионскую тренировку по подготовке 14 задания из ЕГЭ по информатике 2021. Успехов на экзамене!






05-10-2020 в 13:07:44





Похожая статья:

ЕГЭ по информатике 2021 - Задание 1 (Особые точки)

В этом уроке мы изучим 1 Задание из ЕГЭ по информатике нового формата ...

Категория: ЕГЭ  Подкатегория: -
Дата: 15-01-2018 в 16:47:34 4



Оставить коментарий:



Напишите email, чтобы получать сообщения о новых комментариях (необязательно):


Задача против робота. Расположите картинки горизонтально:


Последние
видео:



ЕГЭ по информатике - Задание 17
ЕГЭ по информатике - Задание 16





Давайте
дружить!


Группа Вконтакте Code-Enjoy

Твиттер Александра Калужского

YouTube канал Code-Enjoy